Calcolo della periodicità di una funzione
Ciao a tutti! stiamo svolgendo degli esercizi di analisi e non ne veniamo a capo!
abbiamo una funzione così definita:
$x^2 |\cos \frac{\pi}{x}| |x| \ne 0 $ e $0 x=0$
Dobbiamo dimostrare che non è derivabile nei punti $x_n=\frac{2}{2n+1}, n\in \mathbb{N}$
Ma derivabile in $x=0$ punto di accumulazione per $x_n$
Siamo riusciti a dedurre graficamente che $x_n$ dovrebbero essere tutti quei punti dove il coseno tocca lo 0, quindi la funzione si annulla e da qui abbiamo dedotto che $x_n$ è la periodicità del coseno! è giusto? ma soprattutto come si fa a calcolare la periodicità del coseno?
Grazi 1000 anticipatamente!
abbiamo una funzione così definita:
$x^2 |\cos \frac{\pi}{x}| |x| \ne 0 $ e $0 x=0$
Dobbiamo dimostrare che non è derivabile nei punti $x_n=\frac{2}{2n+1}, n\in \mathbb{N}$
Ma derivabile in $x=0$ punto di accumulazione per $x_n$
Siamo riusciti a dedurre graficamente che $x_n$ dovrebbero essere tutti quei punti dove il coseno tocca lo 0, quindi la funzione si annulla e da qui abbiamo dedotto che $x_n$ è la periodicità del coseno! è giusto? ma soprattutto come si fa a calcolare la periodicità del coseno?
Grazi 1000 anticipatamente!
Risposte
potresti specificare meglio come è espressa questa funzione??
perchè davvero non si capisce..
perchè davvero non si capisce..
$f(x)=\{(|x^3| *cos (\pi/x) if x!=0 ), (0 if x=0):}$
direi che la funzione è questa. tra l'altro è scomodo scrivere $x^2*|x|$ scrivi direttamente $|x^3|$.
la deduzione dal grafico conta poco, di sicuro i punti $x_n$ come li hai definiti sono tali che $f(x_n)=0$
perchè $f(x_n)=|x_n^3|*cos((2n+1)\pi/2)=|x_n^3|*cos(\pi/2+n\pi)=0$ $AAn in ZZ$ (non solo per gli $n$ naturali come dici tu).
poi non si capisce cosa dici sulla periodicità del coseno.. il periodo del coseno è sempre e comunque $2\pi$.
$x_n$ è una successione di punti cosa c'entra con un periodo?
semmai per risolvere l'esercizio cerca di trovare la derivata, così poi vedi dove non vale.
altro suggerimento: la funzione è pari, quindi studiala solo in $RR^+$ così il valore assoluto puoi toglierlo.
direi che la funzione è questa. tra l'altro è scomodo scrivere $x^2*|x|$ scrivi direttamente $|x^3|$.
la deduzione dal grafico conta poco, di sicuro i punti $x_n$ come li hai definiti sono tali che $f(x_n)=0$
perchè $f(x_n)=|x_n^3|*cos((2n+1)\pi/2)=|x_n^3|*cos(\pi/2+n\pi)=0$ $AAn in ZZ$ (non solo per gli $n$ naturali come dici tu).
poi non si capisce cosa dici sulla periodicità del coseno.. il periodo del coseno è sempre e comunque $2\pi$.
$x_n$ è una successione di punti cosa c'entra con un periodo?
semmai per risolvere l'esercizio cerca di trovare la derivata, così poi vedi dove non vale.
altro suggerimento: la funzione è pari, quindi studiala solo in $RR^+$ così il valore assoluto puoi toglierlo.
mi sa che hai sbagliato funzione ma cmq mi hai dato 1 valido aiuto, grazie!
$f(x)=\{(x^2 |cos\frac{\pi}{x}| if x!=0),(0 if x=0):}$
Per la successione sono illuminato, per la derivabilità un po' meno.....
$f(x)=\{(x^2 |cos\frac{\pi}{x}| if x!=0),(0 if x=0):}$
Per la successione sono illuminato, per la derivabilità un po' meno.....
Dovresti chiarire qual è la funzione, dal momento che questa che hai scritto in quest'ultimo post è diversa da quella iniziale.
la funzione giusta è l'ultima che ho scritto
Ok. Data la funzione:
[tex]f(x)=x^2|\cos(\frac{\pi}{x})|[/tex]
in corrispondenza dei punti indicati [tex]x_n=\frac{2}{2n+1}[/tex], si ha
[tex]f(x_n)=x_n^2\Big{|}\cos\left[(2n+1)\dfrac{\pi}{2}\right]\Big{|}[/tex]
Quindi, il coseno proprio in corrispondenza di questi punti cambia di segno. Inoltre, si ha:
[tex]f'(x)=2x|\cos(\frac{\pi}{x})|+\pi\sin(\frac{\pi}{x})\dfrac{|\cos(\frac{\pi}{x})|}{\cos(\frac{\pi}{x})}[/tex]
Calcolando il limite per [tex]x\to x_n^\pm[/tex], si ha:
[tex]\lim_{x\to x_n^+}f'(x)=\lim_{x\to x_n^+}2x\cos(\frac{\pi}{x})+\pi\sin(\frac{\pi}{x})=\pi[/tex]
[tex]\lim_{x\to x_n^-}f'(x)=\lim_{x\to x_n^-}-2x\cos(\frac{\pi}{x})-\pi\sin(\frac{\pi}{x})=-\pi[/tex]
Quindi la derivata è discontinua in tali punti.
[tex]f(x)=x^2|\cos(\frac{\pi}{x})|[/tex]
in corrispondenza dei punti indicati [tex]x_n=\frac{2}{2n+1}[/tex], si ha
[tex]f(x_n)=x_n^2\Big{|}\cos\left[(2n+1)\dfrac{\pi}{2}\right]\Big{|}[/tex]
Quindi, il coseno proprio in corrispondenza di questi punti cambia di segno. Inoltre, si ha:
[tex]f'(x)=2x|\cos(\frac{\pi}{x})|+\pi\sin(\frac{\pi}{x})\dfrac{|\cos(\frac{\pi}{x})|}{\cos(\frac{\pi}{x})}[/tex]
Calcolando il limite per [tex]x\to x_n^\pm[/tex], si ha:
[tex]\lim_{x\to x_n^+}f'(x)=\lim_{x\to x_n^+}2x\cos(\frac{\pi}{x})+\pi\sin(\frac{\pi}{x})=\pi[/tex]
[tex]\lim_{x\to x_n^-}f'(x)=\lim_{x\to x_n^-}-2x\cos(\frac{\pi}{x})-\pi\sin(\frac{\pi}{x})=-\pi[/tex]
Quindi la derivata è discontinua in tali punti.
WOW perfetto! peccato che il nostro prof voglia il calcolo della derivata con il rapporto incrementale senza usare hopital......
Allora imposta il rapporto incrementale, provaci.
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