Calcolo della norma euclidea attraverso un limite (moto circolare)
Salve, mi è capitato di vedere una cosa strana in un testo di fisica, che proverò a riformulare qui: data una funzione \(\mathbf{v}: \mathbb{R} \ni t \mapsto \mathbf{v}(t) \in \mathbb{R}^3\), \(\lVert \mathbf{v}(t) \rVert\) costante, ci è possibile determinare il modulo della sua derivata \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt}\) effettuando il limite di uno strano "rapporto incrementale": $$[1] \quad \lVert \mathbf{a} \rVert = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\lVert \Delta \mathbf{v}\rVert}{\Delta t}}$$
Il testo, poi, da considerazioni geometriche, conclude che, se $\mathbf{a}$ è l'accelerazione di un punto in moto su di una traiettoria circolare con velocità $\mathbf{v}$, il modulo della prima sarà quindi:$$\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{2\lVert\mathbf{v}\rVert \sin(\Delta \theta / 2)}{\Delta t}} = \lVert \mathbf{v} \rVert \omega$$
dove con $\Delta \theta$ e $\omega$ si sono indicati rispettivamente l'angolo compreso tra i due vettori $\mathbf{v}(t)$ e $\mathbf{v}(t+\Delta t)$, e la velocità angolare del punto. In questo caso l'affermazione $[1]$ ha senso. Mi chiedevo come potessi provare questa cosa, e sotto quali ipotesi fosse generalizzabile, magari per estenderla anche al caso di funzioni di modulo non costante.
Il testo, poi, da considerazioni geometriche, conclude che, se $\mathbf{a}$ è l'accelerazione di un punto in moto su di una traiettoria circolare con velocità $\mathbf{v}$, il modulo della prima sarà quindi:$$\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{2\lVert\mathbf{v}\rVert \sin(\Delta \theta / 2)}{\Delta t}} = \lVert \mathbf{v} \rVert \omega$$
dove con $\Delta \theta$ e $\omega$ si sono indicati rispettivamente l'angolo compreso tra i due vettori $\mathbf{v}(t)$ e $\mathbf{v}(t+\Delta t)$, e la velocità angolare del punto. In questo caso l'affermazione $[1]$ ha senso. Mi chiedevo come potessi provare questa cosa, e sotto quali ipotesi fosse generalizzabile, magari per estenderla anche al caso di funzioni di modulo non costante.
Risposte
Se pensi alla definizione di accelerazione scalare media che viene spesso indicata con $\langle \mathbf{a} \rangle = \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}$, allora lo "strano" limite dovrebbe esserti più chiaro: si restringe l'intervallo temporale al solito modo e se ne prende la norma 2. $||\mathbf{a}||=||\lim_{Delta t \rarr 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}||$. Se proprio, puoi vedere $\Delta v= v(t+ \Delta t) - v(t)$, e come vedi la finestra temporale è proprio $\Delta t$.
Ora, partendo dal secondo limite che hai scritto e approssimando il seno al prim'ordine, si ha che il termine sui cui fare il limite è $ \frac{2 || \mathbf{v} || \cdot \frac{\Delta \theta}{2}}{Delta t} \rarr_{Delta t \rarr 0} ||v|| \dot{theta}$, ($dot{\theta}$ è la derivata temporale dell'angolo spazzato, che corrisponde alla tua $\omega$).
Se il moto è circolare uniforme allora ovviamente l'unica accelerazione presente è quella centripeta, responsabile della variazione della direzione del moto. Altrimenti compare anche un termine di accelerazione tangenziale, legato al fatto che la velocità varia, di modulo $a_t=\frac{dv}{dt}$.
Ad ogni modo, non sapendo che libro usi io farei così per calcolare il modulo dell'accelerazione nel caso generale: da $\mathbf{r}(t)=R \cos(\theta(t)) \mathbf{i} + R \sin(\theta(t)) \mathbf{j}$, per derivazione ricavi $\mathbf{v}(t)= \frac{d\mathbf{r}}{dt}$ e derivando ancora una volta ricavi $\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}$. A questo punto, $||\mathbf{a}||_{2}$ si calcola molto agevolmente nel solito modo. E' un po' calcoloso ma comunque molto lineare.
[ot]che libro usi?[/ot]
Ora, partendo dal secondo limite che hai scritto e approssimando il seno al prim'ordine, si ha che il termine sui cui fare il limite è $ \frac{2 || \mathbf{v} || \cdot \frac{\Delta \theta}{2}}{Delta t} \rarr_{Delta t \rarr 0} ||v|| \dot{theta}$, ($dot{\theta}$ è la derivata temporale dell'angolo spazzato, che corrisponde alla tua $\omega$).
Se il moto è circolare uniforme allora ovviamente l'unica accelerazione presente è quella centripeta, responsabile della variazione della direzione del moto. Altrimenti compare anche un termine di accelerazione tangenziale, legato al fatto che la velocità varia, di modulo $a_t=\frac{dv}{dt}$.
Ad ogni modo, non sapendo che libro usi io farei così per calcolare il modulo dell'accelerazione nel caso generale: da $\mathbf{r}(t)=R \cos(\theta(t)) \mathbf{i} + R \sin(\theta(t)) \mathbf{j}$, per derivazione ricavi $\mathbf{v}(t)= \frac{d\mathbf{r}}{dt}$ e derivando ancora una volta ricavi $\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}$. A questo punto, $||\mathbf{a}||_{2}$ si calcola molto agevolmente nel solito modo. E' un po' calcoloso ma comunque molto lineare.
[ot]che libro usi?[/ot]
Ovviamente l'approssimazione di $sin(\Delta \theta)$ vale nonostante il limite sia su $Delta t$ perché $\theta=\theta(t)$ e $\theta(t) \rarr_{\Delta t \rarr 0} 0$. Avrei dovuto specificarlo 
Grazie per la risposta intanto!
Considerata l'accelerazione media \({\langle \mathbf{a} \rangle}_{\Delta t} = {\hat\imath \Delta v_x / \Delta t} + {\hat\jmath \Delta v_y / \Delta t} + {\hat k \Delta v_z / \Delta t}\), quello che mi sto chiedendo è proprio perché il limite $\Delta t \to 0$ della sua norma \(\lVert {\langle \mathbf{a} \rangle}_{\Delta t} \rVert = \left[ \left(\frac{\Delta v_x}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{\Delta v_y}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{\Delta v_z}{\Delta t}\right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} = \frac{\lVert \Delta \mathbf{v} \rVert}{\Delta t}\) coincida proprio con la norma della derivata di $\mathbf v$: \[ [2] \quad \lVert \mathbf{a} \rVert = \left\lVert \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right\rVert = \lim_{\Delta t \to 0}{\rVert {\langle \mathbf{a} \rangle}_{\Delta t} \lVert}\]
In altre parole, perché si ottiene \( {\left[ {\left( \frac{dv_x}{dt} \right)}^2 + \dots + {\left( \frac{dv_x}{dt} \right)}^2 \right]}^\frac{1}{2} \) dal "terzo" membro di $[2]$?
p.s. Ho usato l'esempio del modulo dell'accelerazione nel moto circolare uniforme come verifica del fatto che quest'affermazione ($[1]$) in qualche caso avesse senso: infatti, se \(\lVert \mathbf {v}\rVert\) è costante, possiamo calcolare il modulo di $\mathbf a$ con il limite scritto sopra; questo coincide appunto con \(\lVert -\hat\imath \omega^2 \cos(\omega t) - \hat\imath \omega^2 R \sin(\omega t) \rVert\)
[ot]Ho trovato questa cosa sfogliando le pagine di una vecchia copia del Mencuccini Silvestrini.[/ot]
"feddy":
si restringe l'intervallo temporale al solito modo e se ne prende la norma 2
Considerata l'accelerazione media \({\langle \mathbf{a} \rangle}_{\Delta t} = {\hat\imath \Delta v_x / \Delta t} + {\hat\jmath \Delta v_y / \Delta t} + {\hat k \Delta v_z / \Delta t}\), quello che mi sto chiedendo è proprio perché il limite $\Delta t \to 0$ della sua norma \(\lVert {\langle \mathbf{a} \rangle}_{\Delta t} \rVert = \left[ \left(\frac{\Delta v_x}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{\Delta v_y}{\Delta t}\right)^2 + \left(\frac{\Delta v_z}{\Delta t}\right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} = \frac{\lVert \Delta \mathbf{v} \rVert}{\Delta t}\) coincida proprio con la norma della derivata di $\mathbf v$: \[ [2] \quad \lVert \mathbf{a} \rVert = \left\lVert \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right\rVert = \lim_{\Delta t \to 0}{\rVert {\langle \mathbf{a} \rangle}_{\Delta t} \lVert}\]
In altre parole, perché si ottiene \( {\left[ {\left( \frac{dv_x}{dt} \right)}^2 + \dots + {\left( \frac{dv_x}{dt} \right)}^2 \right]}^\frac{1}{2} \) dal "terzo" membro di $[2]$?
p.s. Ho usato l'esempio del modulo dell'accelerazione nel moto circolare uniforme come verifica del fatto che quest'affermazione ($[1]$) in qualche caso avesse senso: infatti, se \(\lVert \mathbf {v}\rVert\) è costante, possiamo calcolare il modulo di $\mathbf a$ con il limite scritto sopra; questo coincide appunto con \(\lVert -\hat\imath \omega^2 \cos(\omega t) - \hat\imath \omega^2 R \sin(\omega t) \rVert\)
[ot]Ho trovato questa cosa sfogliando le pagine di una vecchia copia del Mencuccini Silvestrini.[/ot]
Ma se per definizione $a =\frac{d\mathbf{v}}{dt}$, perché ti turba il fatto che se ne prenda la norma ad ambo i membri? Insomma, come hai scritto tu l'accelerazione scalare media è $\langle \mathbf{a} \rangle = \frac{\Delta \mathbf{v} }{\Delta t}$. Per definizione, l'accelerazione istantanea è $\lim_{\Delta t \rarr 0} \frac{\Delta \mathbf{v} }{\Delta t}$, che coincide, a livello puramente matematico, con $\frac{\d \mathbf{v}}{dt}$, nel modo in cui ho scritto nel mio primo post, poiché $\Delta v=v(t+\Delta t) - v(t)$, e quindi quello scritto sopra è proprio il limite del rapporto incrementale, ossia la derivata temporale della velocità $\mathbf{v}$.
Tutto quello che viene fatto poi è solamente prenderne la norma.
Tu vorresti procedere applicando la definizione di accelerazione considerando già la norma, mentre secondo me conviene procedere al solito modo e alla fine applicare la funzione $|| \cdot ||_{2}$ ambo i membri.
Spero di aver colto il punto.
C'è un refuso sulla norma che hai scritto alla fine, anche perché non sei andato avanti coi calcoli
[ot]
Ottimo libro.[/ot]
Tutto quello che viene fatto poi è solamente prenderne la norma.
Tu vorresti procedere applicando la definizione di accelerazione considerando già la norma, mentre secondo me conviene procedere al solito modo e alla fine applicare la funzione $|| \cdot ||_{2}$ ambo i membri.
Spero di aver colto il punto.
C'è un refuso sulla norma che hai scritto alla fine, anche perché non sei andato avanti coi calcoli
[ot]
"marco2132k":
Ho trovato questa cosa sfogliando le pagine di una vecchia copia del Mencuccini Silvestrini.
Ottimo libro.[/ot]
"feddy":
Ma se per definizione $a =\frac{d\mathbf{v}}{dt}$, perché ti turba il fatto che se ne prenda la norma ad ambo i membri?
Ciò che mi turba è che: \[\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\lVert \Delta \mathbf{v} \rVert}{\Delta t}} = \left\lVert \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}} \right\rVert\]
che è un'operazione diversa dal prendere la norma ad ambo i membri di \( \mathbf{a} =d\mathbf{v} / dt \).
"feddy":
Tu vorresti procedere applicando la definizione di accelerazione considerando già la norma, mentre secondo me conviene procedere al solito modo e alla fine applicare la funzione \(|| \cdot ||_{2}\) ambo i membri.
Spero di aver colto il punto.
Sì, l'hai colto: lo scopo sarebbe quello di calcolare il modulo dell'accelerazione dato quello della velocità, facendo il limite per $\Delta t$ che tende a zero del rapporto tra la variazione finita di questo nell'intervallo di tempo e $\Delta t$, nel caso (come nel moto circolare uniforme, ma ve ne sono altri), che \(\lVert \mathbf{v} \rVert\) sia costante.
"feddy":
C'è un refuso sulla norma che hai scritto alla fine
Grazie per avermelo fatto notare, manca il raggio della circonferenza, $R$, nel coefficiente di \(\hat\imath\). O l'ho messo in più dall'altra parte, è uguale
"marco2132k":
Grazie per avermelo fatto notare, manca il raggio della circonferenza, R, nel coefficiente di ı^. O l'ho messo in più dall'altra parte, è uguale
Per $\omega$ intendi $\dot(\theta)$, immagino. Ad ogni modo, ti deve risultare $|| \mathbf{a}|| = \sqrt((R \ddot(\theta))^2 +( R \dot(\theta))^2)$, dove una è la componente tangenziale e l'altra è la componente normale.
C'è un errore nei tuoi calcoli/ragionamento: se il moto è circolare uniforme, allora deve risultarti, come detto sopra, solamente la componente centripeta, mentre a te ne risultano due. Prova a ricontrollare i tuoi passaggi, forse potrebbe chiarirti le idee
"marco2132k":
Ciò che mi turba è che: \[\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\lVert \Delta \mathbf{v} \rVert}{\Delta t}} = \left\lVert \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}} \right\rVert\]
Se il limite è finito, il limite del modulo coincide col modulo del limite, che è quello che ti interessa in buona sostanza, quindi quel passaggio è giustificato.
Ci vuole un valore assoluto su \(\Delta t\) al membro sinistro.
"dissonance":Dovrebbe effettivamente esserci; purtroppo sto mischiando ipotesi fisiche (assumo $|\Delta t| = \Delta t$) con tutto il resto.
Ci vuole un valore assoluto su \( \Delta t \) al membro sinistro.
"feddy":
Se il limite è finito, il limite del modulo coincide col modulo del limite, che è quello che ti interessa in buona sostanza, quindi quel passaggio è giustificato.
Ciò che mi blocca è appunto che non riesco ad arrivare a questo risultato, a dimostrarlo. Quando provo a svolgere il limite al membro sinistro trovo qualcosa del tipo \(\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\sqrt{ {\Delta v_x}^2 + {\Delta v_y}^2 + {\Delta v_z}^2 }}{|\Delta t|}}\). Dove mi perdo? Cioè: perché quella quantità tende a \(\lVert d\mathbf{v}/dt\rVert\) per $\Delta t \to 0$?
Per quanto riguarda il discorso sul moto circolare uniforme, se $\dot{\theta}=\omega$ è costante, allora, dato che: \[\mathbf{v}=\begin{pmatrix} -\omega R \sin(\omega t) \\ \omega R \cos(\omega t) \end{pmatrix}\] abbiamo: \[\Vert \mathbf{a} \rVert = {\left[ \left(\frac{d}{dt}{-\omega R \sin(\omega t)}\right)^2 + \left(\frac{d}{dt}{\omega R \cos(\omega t)}\right)^2 \right]}^{\frac{1}{2}} = \omega^2R \] tenendo presente che, appunto, $\omega = v/R = \mbox{costante}$.
"marco2132k":
Ciò che mi blocca è appunto che non riesco ad arrivare a questo risultato, a dimostrarlo.
Ma è un risultato "noto" dell'analis, non serve ridimostrarlo per questo caso particolare. Se proprio vuoi verificare che accada, elevando al quadrato i conti si dovrebbero semplificare: $ \lim_{\Delta t \rarr 0} \frac{{\Delta v_x}^2 + {\Delta v_y}^2 + {\Delta v_z}^2 }{\Delta_t ^2} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}= || \mathbf{a}||^2= ||\frac{d\mathbf{v}}{dt}||^{2}$
Oddio! E io che pensavo che intervenissero chissà quali considerazioni fisiche o matematiche 
Il testo usa infatti questo procedimento per mostrare il significato fisico dell'operazione di derivazione su funzioni a valori vettoriali, ma lo fa in un caso particolarissimo, con $\mathbf v$ costante in modulo; ho interpretato questa informazione come essenziale allo svolgimento della "dimostrazione", incurante dell'Analisi. Grazie mille e scusa se ti ho fatto perdere tempo. 
Il testo usa infatti questo procedimento per mostrare il significato fisico dell'operazione di derivazione su funzioni a valori vettoriali, ma lo fa in un caso particolarissimo, con $\mathbf v$ costante in modulo; ho interpretato questa informazione come essenziale allo svolgimento della "dimostrazione", incurante dell'Analisi. Grazie mille e scusa se ti ho fatto perdere tempo.
Sono contento che tu ti sia chiarito. Spesso in fisica essere troppo pedanti fa passare brutti grattacapi, e più andrai avanti (termodinamica, fluidodinamica) più vedrai abusi di notazione e simili.[nota]E sono solo al terzo anno[/nota]
Non ti preoccupare, l'ho fatto volentieri.
Buono studio.
"marco2132k":
Grazie mille e scusa se ti ho fatto perdere tempo.
Non ti preoccupare, l'ho fatto volentieri.
Buono studio.
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