Calcolo della lunghezza di una curva
Mi sono ritrovato a risolvere questo esercizio:
Data la curva $gamma$ di equazione polare
$rho=2cos^2theta$ , $theta in [-pi/2 , pi/2]$
Calcolare la lunghezza di $gamma$.
Sono un paio di giorni che sto studiando questa tipologia di esercizio ma in questo ad un certo punto mi blocco e spero che qualcuno di voi mi dia una mano a capire come proseguire.
Nel caso di equazioni polari la lunghezza di una curva è data dalla formula
$l=int_a^b sqrt( (rho')theta ^2 + rho^2 theta) d theta $
Applicando al mio esercizio dovrei avere
$rho ' = -4costhetasentheta$
Andando a sostituire nella formula dovrei ottenere
$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt( (-4costhetasentheta)^2+(2cos^2theta) ) d theta$
Svolgendo i quadrati e mettendo in evidenza ottengo
$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt (4cos^2theta(4sen^2theta+cos^2theta))$
Ed è questo il punto in cui mi blocco non riesco a proseguire.
Mi è stato consigliato di scrivere
$rho=2cos^2theta$ come $rho=1+cos2theta$ grazie alle formule di duplicazione del coseno e mi trovo (tralasciando tutti i calcoli)
$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt( (-2sen2theta)^2 + (1+cos2theta)^2) d theta$
Ed anche in questo caso non so come proseguire.
Qualcuno mi può dire quale caso mi conviene usare e mi aiuta a capire come svolgere l'integrale?
Data la curva $gamma$ di equazione polare
$rho=2cos^2theta$ , $theta in [-pi/2 , pi/2]$
Calcolare la lunghezza di $gamma$.
Sono un paio di giorni che sto studiando questa tipologia di esercizio ma in questo ad un certo punto mi blocco e spero che qualcuno di voi mi dia una mano a capire come proseguire.
Nel caso di equazioni polari la lunghezza di una curva è data dalla formula
$l=int_a^b sqrt( (rho')theta ^2 + rho^2 theta) d theta $
Applicando al mio esercizio dovrei avere
$rho ' = -4costhetasentheta$
Andando a sostituire nella formula dovrei ottenere
$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt( (-4costhetasentheta)^2+(2cos^2theta) ) d theta$
Svolgendo i quadrati e mettendo in evidenza ottengo
$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt (4cos^2theta(4sen^2theta+cos^2theta))$
Ed è questo il punto in cui mi blocco non riesco a proseguire.
Mi è stato consigliato di scrivere
$rho=2cos^2theta$ come $rho=1+cos2theta$ grazie alle formule di duplicazione del coseno e mi trovo (tralasciando tutti i calcoli)
$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt( (-2sen2theta)^2 + (1+cos2theta)^2) d theta$
Ed anche in questo caso non so come proseguire.
Qualcuno mi può dire quale caso mi conviene usare e mi aiuta a capire come svolgere l'integrale?
Risposte
Grazie per la risposta!!! Non mi sono chiari un paio di punti.
Perchè hai messo $|cos|$ e non semplicemente $cos$?
Che formula è stata usata per scrivere $sqrt(cos^2 theta+4sin^2 theta)$ in $sqrt(1+3sin^2 theta)$ ?
Che fine ha fatto $(cos theta$) in $2int_-(pi/2)^(pi/2) sqrt (1+3sen^2 theta) (cos theta) d theta$ nel passare a $2 int_-1^1 sqrt(1+3t^2) dt$ ?
Perchè hai messo $|cos|$ e non semplicemente $cos$?
Che formula è stata usata per scrivere $sqrt(cos^2 theta+4sin^2 theta)$ in $sqrt(1+3sin^2 theta)$ ?
Che fine ha fatto $(cos theta$) in $2int_-(pi/2)^(pi/2) sqrt (1+3sen^2 theta) (cos theta) d theta$ nel passare a $2 int_-1^1 sqrt(1+3t^2) dt$ ?
Tutto chiaro. Si è vero è un passaggio ovvio mi sa che mi devo andare a riguardare un pò di trigonometria. Ho cominciato da poco a preparare quest'esame e mi sembra tutto difficile ma grazie a questa spiegazione mi si è illuminata la mente! Grazie!
Mi sono bloccato sul pdf che mi hai mostrato. Non ho capito molte cose e ho provato a ragionare in modo diverso
Partendo da $2int_-1^1sqrt(1+3t^2) dt$
ho fatto questa sostituzione
$y=sqrt3 t$ , $t=y/sqrt3$ , $dx=1/sqrt3 dy$
Quindi l'integrale diventa
$2/sqrt3 int_-1^1 1-y^2 dy$
Facendo un'ulteriore sostituzione
$t=arcsen (y)$ , $y=sen (t)$ , $dy=cos (t) dt$
Quindi l'integrale diventa
$2/sqrt3 int_-1^1sqrt(1-sen^2t)* cos tdt = 2/sqrt3 int_-1^1cost * cost dt = 2/sqrt3 int_-1^1cos^2t dt$
A questo punto (non so se sto per dire una sciocchezza sempre se non le ho dette già fino ad ora) potrei scrivere
$2/sqrt3int_-(pi/2)^(pi/2) cos^2t dt$
che ovviamente non da come risultato quello scritto da te prima.
Questo può essere un ragionamento alternativo?
Partendo da $2int_-1^1sqrt(1+3t^2) dt$
ho fatto questa sostituzione
$y=sqrt3 t$ , $t=y/sqrt3$ , $dx=1/sqrt3 dy$
Quindi l'integrale diventa
$2/sqrt3 int_-1^1 1-y^2 dy$
Facendo un'ulteriore sostituzione
$t=arcsen (y)$ , $y=sen (t)$ , $dy=cos (t) dt$
Quindi l'integrale diventa
$2/sqrt3 int_-1^1sqrt(1-sen^2t)* cos tdt = 2/sqrt3 int_-1^1cost * cost dt = 2/sqrt3 int_-1^1cos^2t dt$
A questo punto (non so se sto per dire una sciocchezza sempre se non le ho dette già fino ad ora) potrei scrivere
$2/sqrt3int_-(pi/2)^(pi/2) cos^2t dt$
che ovviamente non da come risultato quello scritto da te prima.
Questo può essere un ragionamento alternativo?
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