Calcolo della lunghezza dell'arco di parabola
Qualcuno mi può aiutare a capire come devo impostare il seguente esercizio??
Calcolare la lunghezza dell'arco di parabola $y= x^2$ di estremi $ (0,0)$ e $(x,x^2) $ , per ogni $x>0$.
Grazie in anticipo
Calcolare la lunghezza dell'arco di parabola $y= x^2$ di estremi $ (0,0)$ e $(x,x^2) $ , per ogni $x>0$.
Grazie in anticipo
Risposte
Basta usare la formula per la lunghezza di una curva regolare e fare due conti.
P.S.: Ricorda la netiquette le prossime volte, please.
P.S.: Ricorda la netiquette le prossime volte, please.
"gugo82":
Basta usare la formula per la lunghezza di una curva regolare e fare due conti.
La formula che fino ad ora ho utilizzato per il calcolo di una curva regolare è:
$int_\phi sqrt(x'(t)^2+(y'(t)^2)$
Ma nel mio caso quali sono gli estremi di integrazione??
E come posso scrivere x e y in funzione di t??
Io ho provato nel seguente modo ma credo sia sbagliato.
${(x=t),(y=t^2):}$
$t in [o,x]$
Grazie
Perché vuoi esprimere $x$ e $y$ in funzione di $t$?
Se dovessi trovare la lunghezza in $[0;1]$ che estremi useresti?
Se dovessi trovare la lunghezza in $[0;1]$ che estremi useresti?
"Raptorista":
Perché vuoi esprimere $x$ e $y$ in funzione di $t$?
Se dovessi trovare la lunghezza in $[0;1]$ che estremi useresti?
Perchè nella formula per calcolare la lunghezza devo fare le derivate rispetto al paraetro $t$, altrimenti come le faccio ?
Se dovessi trovare la lunghezza in [0,1] userei proprio [0,1] come estremi, ma io devo trovare la lunghezza in (0,0) e $(x,x^2)$ come faccio ?
L'integrale cerca di impostarlo da sola e di ragionarci, poi per risolverlo magari ti do un suggerimento, ma intanto cerca di impostarlo da sola.
"fireball":
L'integrale cerca di impostarlo da sola e di ragionarci, poi per risolverlo magari ti do un suggerimento, ma intanto cerca di impostarlo da sola.
Come faccio senza sapere le derivate ?
Intanto parametrizza l'arco di curva: scrivi $x(t)$ e $y(t)$ e specifica l'intervallo in cui varia $t$. Fatto questo, puoi scrivere l'integrale. Se non riesci a risolverlo (non è immediato) ti do un suggerimento.
"fireball":
Intanto parametrizza l'arco di curva: scrivi $x(t)$ e $y(t)$ e specifica l'intervallo in cui varia $t$. Fatto questo, puoi scrivere l'integrale. Se non riesci a risolverlo (non è immediato) ti do un suggerimento.
Ma io ci ho provato l'ho scritto nei post precedenti,la mia difficoltà è proprio nel parametrizzare le variabili ed esprimere l'intervallo di $t$
L'ho fatto prima ma nn credo sia esatto.
Ah, scusa, non l'avevo visto! Sì, è giusto, sia la parametrizzazione che l'intervallo dove varia t. Perché pensi che non sia giusto??
Adesso comunque puoi scrivere l'integrale... Scrivilo.
Adesso comunque puoi scrivere l'integrale... Scrivilo.
Allora facendo un po di conti mi esce :
$\int_0^xsqrt(1+4t^2) dt$ $=$ $[t*sqrt(4t^2+1)+1/2*log(2t+sqrt(4t^2+1)) ]_0^x$ e per il risultato ora mi basta sostituire la $t$ con la $x$ ?
$\int_0^xsqrt(1+4t^2) dt$ $=$ $[t*sqrt(4t^2+1)+1/2*log(2t+sqrt(4t^2+1)) ]_0^x$ e per il risultato ora mi basta sostituire la $t$ con la $x$ ?
Ci sarebbe un $1/2$ davanti al risultato, a moltiplicare, ma per il resto tutto ok.
Sì, sostituisci t con x e hai finito (tanto per t=0 viene tutto 0).
Sì, sostituisci t con x e hai finito (tanto per t=0 viene tutto 0).
Grazie gentilissimo come sempre.
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