Calcolo della funzione coniugata

[EtaBeta88]

Posto $\Omega = \mathbb{R} ^N$, si definisca la funzione $\phi: L^2(\Omega) \rightarrow (-\infty , +\infty]$ in questo modo:

$\phi(u) = \{(\int _{\Omega} | u(x) |dx \qquad \mbox{se } u \in L^1 (\Omega) ), (+\infty \qquad \mbox{altrimenti }):}$

Mi viene chiesto di individuare la funzione convessa coniugata

$\phi ^\star : L^2 (\Omega) \rightarrow (- \infty, +\infty ] $

definita cosi`:

$\phi ^\star (f) = \mbox{sup} _{u \in L^2 (\Omega)} { - \phi (u) }\ $

Osservando che se $u \notin L^1 (\Omega)$, $\phi (u) = +\infty $, e dunque $ - \phi (u) = -\infty $, ho riscritto l'uguaglianza come:

$ \phi ^\star (f) = \mbox{sup} _{u \in L^1 (\Omega) \cap L^2 (\Omega)} { - \phi (u) }\ = \mbox{sup} _{u \in L^1 (\Omega) \cap L^2 (\Omega)} { - \int _{\Omega} | u(x) | dx }$

A questo punto ho tentato di distinguere i casi a seconda del valore di $||f||$, distinguendo il caso $||f|| <1$
e $||f|| \ge 1$, ma senza giungere ad alcuna conclusione.

Qualcuno sa darmi uno spunto per procedere?

Grazie

[Rigel1]

Mi sembra che venga
\[
\phi^*(f) = \begin{cases}
0, & \text{se}\ \|f\|_{\infty} \leq 1,\\
+\infty &\text{altrimenti}.
\end{cases}
\]
Se infatti \( |f(x)| \leq 1\) a.e. si vede che l'estremo superiore è raggiunto per \(u = 0\); in caso contrario, posto \( A:= \{x: |f(x)| > 1\}\) e \( B := A \cap B_R\) con \(R>0\) tale che \( m(B) > 0\), basta prendere \( u = \lambda \chi_B\) e mandare \(\lambda \to +\infty\).

[EtaBeta88]

Grazie infinite, torna tutto perfettamente!