Calcolo della derivata quinta

[cri981]

salve a tutti devo calcolare la derivata quinta di $ f(x)=2/(1-x) per x=-2$

dai miei calcoli ottengo:

f(primo)=$ 2/(1-x^2)$

f(secondo)=$ 4/(1-x^3)$

f(terzo)=$ 12/(1-x)^5$

f(quarto)=$ 60/(1-x)^9$

f(quinto)=$ 540/(1-x)^17$

dove è l'errore?
mi potete scrivere tutti i passaggi
grazie!

[killing_buddha]

"cri98":
f(primo)=$ 2/(1-x^2)$
dove è l'errore?

Qui.

[pilloeffe]

"killing_buddha":Qui.

Infatti, è errata già la derivata prima...

E' più semplice se consideri $f(x) = 2 (1 - x)^{- 1} $

[cri981]

io scrivo:

f=2 f(primo)= 0

g=(1-x) g(primo)=-1

f(primo)=$ ( f(primo)*g-f*g(primo))/(g)^2$

sostituisco:

$ ( 0*(1-x)-2*(-1))/(1-x)^2$= $ 2/(1-x^2)$

cosa ho sbagliato?

[pilloeffe]

Ti rispondo prima che mi fai inferocire killing_buddha...

Come dovresti sapere, $(1 - x)^2 \ne 1 - x^2 $...

Segui il consiglio che ti ho dato nel mio post precedente...

[cri981]

ciao è semplicemente un errore di battitura diventa$ 2/ (1-x)^2 $

"pilloeffe":Ti rispondo prima che mi fai inferocire killing_buddha...

Come dovresti sapere, $ (1 - x)^2 \ne 1 - x^2 $...

Segui il consiglio che ti ho dato nel mio post precedente...

[pilloeffe]

Si ha:

$ f^{(0)}(x) = f(x) = 2/(1 - x) = 2(1 - x)^{- 1} $
$ f^{(1)}(x) = - 2(1 - x)^{-2} (- 1) = 2(1 - x)^{-2} $
$ f^{(2)}(x) = - 4(1 - x)^{-3} (-1) = 4(1 - x)^{-3} $
$ f^{(3)}(x) = -12(1 - x)^{-4} (-1) = 12(1 - x)^{-4} $
$\vdots $
$ f^{(n)}(x) = 2 \cdot n! (1 - x)^{-n - 1} $

Quindi in definitiva si ha:

$ f^{(5)}(x) = 2 \cdot 5! (1 - x)^{-5 - 1} = 240 (1 - x)^{-6} $

Calcolando quest'ultima derivata in $x = 2 $ si ottiene $ f^{(5)}(2) = 240 (1 - 2)^{-6} = 240 $

[cri981]

grazie pilloeffe finalmente ho capito !
in questo periodo mi siete davvero di grande aiuto
grazie!

[gugo82]

Sì può fare il conto anche usando la serie di Taylor e la serie geometrica... Prova.