Calcolo della derivata decima di una funzione
Ciao a tutti,
ho di nuovo bisogno del vostro prezioso aiuto...
Devo calcolare la derivata decima della funzione X/(2+X)^2, mediante l'uso delle serie.Non so proprio come fare. Aspetto vostre news e vi ringrazio tanto già da ora.
Ciao.
ho di nuovo bisogno del vostro prezioso aiuto...
Devo calcolare la derivata decima della funzione X/(2+X)^2, mediante l'uso delle serie.Non so proprio come fare. Aspetto vostre news e vi ringrazio tanto già da ora.
Ciao.
Risposte
Facendo le prime derivate ottengo sperimentalmente una successione il cui n-esimo elemento è :
$(-1)^n ((n!x - n!*2n))/(2+x)^(2+n) $
qualcuno corregga se sbaglio....
$(-1)^n ((n!x - n!*2n))/(2+x)^(2+n) $
qualcuno corregga se sbaglio....
Se qualcuno dovesse confermare quanto scritto, allora puoi ragionare così : fai le prime derivate e cerchi la legge che regola la successione ....le prime 4 derivate per esempio vengono
1) $(2-x)/(2+x)^3 $
2) $(2x-8)/(2+x)^4 $
3) $(36-6x)/(2+x)^5 $
4) $(24x-192)/(2+x)^6 $
la prima cosa che si nota è che l'esponente al denominatore vale sempre 2+numero di derivata e così via...
ps:è un metodo poco rigoroso,ma per ora è l'unica cosa che mi è venuta
1) $(2-x)/(2+x)^3 $
2) $(2x-8)/(2+x)^4 $
3) $(36-6x)/(2+x)^5 $
4) $(24x-192)/(2+x)^6 $
la prima cosa che si nota è che l'esponente al denominatore vale sempre 2+numero di derivata e così via...
ps:è un metodo poco rigoroso,ma per ora è l'unica cosa che mi è venuta
"cc91":
Se qualcuno dovesse confermare quanto scritto, allora puoi ragionare così : fai le prime derivate e cerchi la legge che regola la successione ....le prime 4 derivate per esempio vengono
1) $(2-x)/(2+x)^3 $
2) $(2x-8)/(2+x)^4 $
3) $(36-6x)/(2+x)^5 $
4) $(24x-192)/(2+x)^6 $
la prima cosa che si nota è che l'esponente al denominatore vale sempre 2+numero di derivata e così via...
ps:è un metodo poco rigoroso,ma per ora è l'unica cosa che mi è venuta
Grazie cc91, ma il problema so che va risolto in un altro modo, anche se non so come. Ho alcuni "input" su cui sto lavorando. La funzione data è x/(2+x)^2. In pratica, bisogna sfruttare il fatto che 1/(2+X)^2 è la derivata prima della funzione f(x)= -1/(2+X).
Ovvero, possiamo scrivere 1/(2+X)^2 = -d/dx1/(2+X). Questo secondo termine va scritto in forma di serie che va da 1 a k=10 e moltiplicato per x. Facendo i conti, deve poi venire, sostituendo k=10 nella serie, il valore della derivata decima nell'origine.
Questi sono gli "indizi" a mia disposizione, ora anche vostri... Il problema è scrivere -d/dx1/(2+X) sotto forma di serie...
@cc91: Non è "poco rigoroso" questo metodo. Stai cercando di indovinare una formula generale, da dimostrare poi per mezzo del principio di induzione. Va bene, a patto che tu sappia fare il prossimo passo.
@Lastregabuona: Ma queste derivate in quale punto ti occorrono? Prova a sviluppare la funzione data in serie di Taylor centrata nel punto in questione, servendoti della formula per la somma della serie geometrica.
@Lastregabuona: Ma queste derivate in quale punto ti occorrono? Prova a sviluppare la funzione data in serie di Taylor centrata nel punto in questione, servendoti della formula per la somma della serie geometrica.
"dissonance":
@cc91: Non è "poco rigoroso" questo metodo. Stai cercando di indovinare una formula generale, da dimostrare poi per mezzo del principio di induzione. Va bene, a patto che tu sappia fare il prossimo passo.
prima di procedere col principio di induzione volevo avere la conferma di aver capito bene, ma data la risposta di Lastregabuona ho abbandonato quella via...
@Lastregabuona: Aggiungo qualcosa al mio ultimo post sulla base delle nuove informazioni che hai scritto nel frattempo.
In primo luogo non parlare di "serie per n che va da 1 a 10". La serie che ti interessa, una serie di Taylor, ha infiniti indici (come tutte le serie, del resto). Di questi infiniti indici poi ci interesserà il decimo. Come trovare questo decimo indice? Per esempio potremmo osservare che
\[\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\frac{1}{1- (-x/2)}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^nx^n...\]
Continua tu.
In primo luogo non parlare di "serie per n che va da 1 a 10". La serie che ti interessa, una serie di Taylor, ha infiniti indici (come tutte le serie, del resto). Di questi infiniti indici poi ci interesserà il decimo. Come trovare questo decimo indice? Per esempio potremmo osservare che
\[\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\frac{1}{1- (-x/2)}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{2}\right)^nx^n...\]
Continua tu.
Vi ringrazio entrambi, ma continuo a non vedere la soluzione del problema. Ammetto di aver sempre avuto enormi difficoltà con l'argomento "serie e successioni".Comunque si, sono stata imprecisa, non dovevo scrivere che "n va da 1 a 10", quello che intendevo dire è che "k" (che indica l'ordine di derivazione) deve assumere valore 10 una volta scritta la serie... La derivata decima va poi calcolata nell'origine...
Ma dai, hai finito. Guarda:
\[f(x)=-\frac{d}{dx}\frac{1}{2+x}=-\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty\left( \frac{-1}{2}\right)^n x^n,\]
e questo lo sapevamo. Adesso fai sparire quella derivata rispetto ad \(x\). E' facile, stai facendo la derivata di una somma (per quanto infinita), ti basta derivare termine a termine. Non mi dire che non sai calcolare la derivata di \(x^n\)!
Fatto questo avrai ottenuto lo sviluppo in serie di Maclaurin di \(f\). E se ci rifletti un attimo ciò significa che sei immediatamente in grado di calcolare qualsiasi derivata di \(f\) in \(0\).
\[f(x)=-\frac{d}{dx}\frac{1}{2+x}=-\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty\left( \frac{-1}{2}\right)^n x^n,\]
e questo lo sapevamo. Adesso fai sparire quella derivata rispetto ad \(x\). E' facile, stai facendo la derivata di una somma (per quanto infinita), ti basta derivare termine a termine. Non mi dire che non sai calcolare la derivata di \(x^n\)!
Fatto questo avrai ottenuto lo sviluppo in serie di Maclaurin di \(f\). E se ci rifletti un attimo ciò significa che sei immediatamente in grado di calcolare qualsiasi derivata di \(f\) in \(0\).
Ora penso proprio di aver capito! 
Grazie milleeeeee!!!!
Grazie milleeeeee!!!!
Se ci scrivi lo svolgimento, o anche solo il risultato, possiamo controllarlo.
Caro Dissonance,
son sincera, mi vergogno abbastanza di dovervi scrivere che di nuovo sono in difficoltà.
Abbiamo considerato il dato di partenza x/(2+x)^2, di cui dobbiamo calcolare la derivata decima centrata nell'origine, come la f'(x) di un'altra funzione. In specie, abbiamo notato che 1/(2+x)^2 è la derivata prima della funzione f(x)= -1((2+x). E fino a qui ci sono. Abbiamo lasciato per il momento da parte, però, il fattore x che moltiplica la f'(x)...
Dunque: abbiamo cercato di ricondurci alla serie geometrica, e infatti 1/(2+x) = 1/2(1-k), ove k=-x/2.
\Sigma (-1/2)^nK^n è la serie ottenuta. Se derivo, ottengo ((-1/2)^n)nK^(n-1) (N.B: chiedo scusa per come scrivo, sono nuova del sito e devo ancora fare esperienza di come usare la tastiera per scrivere in linguaggio matematico)
A parte il fatto che manca il fattore X iniziale... Siccome la derivata va calcolata nell'origine, così non si avrebbe sempre 0 come risultato?
Dissonance e cc91, vi ringrazio, se ormai avete perso la pazienza non preoccupatevi.
La storia è che ho fatto l'esame di Analisi II la scorsa settimana, e nell'eventualità io abbia passato lo scritto e debba far l'orale, sono sicura la professoressa mi chiederebbe proprio quest'unico esercizio che non ho saputo fare (nè io, nè i miei colleghi, ecco perchè mi son rivolta a questo sito).
Bye, buona giornata
son sincera, mi vergogno abbastanza di dovervi scrivere che di nuovo sono in difficoltà.
Abbiamo considerato il dato di partenza x/(2+x)^2, di cui dobbiamo calcolare la derivata decima centrata nell'origine, come la f'(x) di un'altra funzione. In specie, abbiamo notato che 1/(2+x)^2 è la derivata prima della funzione f(x)= -1((2+x). E fino a qui ci sono. Abbiamo lasciato per il momento da parte, però, il fattore x che moltiplica la f'(x)...
Dunque: abbiamo cercato di ricondurci alla serie geometrica, e infatti 1/(2+x) = 1/2(1-k), ove k=-x/2.
\Sigma (-1/2)^nK^n è la serie ottenuta. Se derivo, ottengo ((-1/2)^n)nK^(n-1) (N.B: chiedo scusa per come scrivo, sono nuova del sito e devo ancora fare esperienza di come usare la tastiera per scrivere in linguaggio matematico)
A parte il fatto che manca il fattore X iniziale... Siccome la derivata va calcolata nell'origine, così non si avrebbe sempre 0 come risultato?
Dissonance e cc91, vi ringrazio, se ormai avete perso la pazienza non preoccupatevi.
La storia è che ho fatto l'esame di Analisi II la scorsa settimana, e nell'eventualità io abbia passato lo scritto e debba far l'orale, sono sicura la professoressa mi chiederebbe proprio quest'unico esercizio che non ho saputo fare (nè io, nè i miei colleghi, ecco perchè mi son rivolta a questo sito).
Bye, buona giornata
1) Per scrivere le formule in modo corretto ti manca soltanto di racchiuderle tra dollari: \$ 2+2=4 \$ produce $2+2=4$.
2) Ora sto scappando ma ti dico brevemente la tecnica che si usa: se di una funzione \(f\) conosci la serie di Taylor centrata in \(x_0\) sai anche quanto valgono tutte le sue derivate in \(x_0\) basta leggere "al contrario" la formula che segue:
\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f^{''}(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2}+\ldots\]
Ed è proprio il tuo caso con \(x_0=0\).
2) Ora sto scappando ma ti dico brevemente la tecnica che si usa: se di una funzione \(f\) conosci la serie di Taylor centrata in \(x_0\) sai anche quanto valgono tutte le sue derivate in \(x_0\) basta leggere "al contrario" la formula che segue:
\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f^{''}(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2}+\ldots\]
Ed è proprio il tuo caso con \(x_0=0\).
"dissonance":
1) Per scrivere le formule in modo corretto ti manca soltanto di racchiuderle tra dollari: \$ 2+2=4 \$ produce $2+2=4$.
2) Ora sto scappando ma ti dico brevemente la tecnica che si usa: se di una funzione \(f\) conosci la serie di Taylor centrata in \(x_0\) sai anche quanto valgono tutte le sue derivate in \(x_0\) basta leggere "al contrario" la formula che segue:
\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f^{''}(x_0)\frac{(x-x_0)^2}{2}+\ldots\]
Ed è proprio il tuo caso con \(x_0=0\).
Ciao Dissonance,
volevo solo dirti che non sono sparita nel nulla e non ho "gettato la spugna"
Sto lavorando al problema e penso di essere vicinissima alla soluzione. Il fatto è che, prima di scriverle, voglio essere abbastanza sicura delle mie conclusioni. Mi sto prendendo il mio tempo, visto che l'orale di analisi ce l'ho la settimana prossima. A prestissimo. E di nuovo grazie.
Chiara
Eccomi qua. Ho trasformato la mia funzione di partenza in una serie di potenze. x/(x+2)^2=x/4(1+x/2)^2=
= (-x/2)d/dx(1/1+x/2). Da qui, ho scritto che -x/2 moltiplica la derivata di una serie geometrica di ragione (-x/2).
Ommetto dei passaggi perchè non ho avuto il tempo di "studiare" come scrivere decentemente le formule, spero di essere comunque comprensibile. Il risultato finale è la serie K(-1/2)^K per X^k, ovvero una serie di potenze. Mi pare di aver capito che il risultato di una tal serie di potenze è proprio " a con k calcolato per k=10 che moltiplica 10 fattoriale". Ovvero, mi viene 10!10(-1/2)^10. Spero sia giusto. Dissonance, se per caso hai svolto per conto tuo l'esericizio, potresti confermarmi la correttezza del risultato? Grazie, ciao
= (-x/2)d/dx(1/1+x/2). Da qui, ho scritto che -x/2 moltiplica la derivata di una serie geometrica di ragione (-x/2).
Ommetto dei passaggi perchè non ho avuto il tempo di "studiare" come scrivere decentemente le formule, spero di essere comunque comprensibile. Il risultato finale è la serie K(-1/2)^K per X^k, ovvero una serie di potenze. Mi pare di aver capito che il risultato di una tal serie di potenze è proprio " a con k calcolato per k=10 che moltiplica 10 fattoriale". Ovvero, mi viene 10!10(-1/2)^10. Spero sia giusto. Dissonance, se per caso hai svolto per conto tuo l'esericizio, potresti confermarmi la correttezza del risultato? Grazie, ciao
Mi pare che il risultato corretto sia \(10!11\left(\frac{-1}{2}\right)^{11}\). Tieni conto che la derivazione fa scendere di uno il grado di \(x^n\). Ma controlla bene che sto andando di fretta e spero di non sbagliarmi.
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