Calcolo della Curvatura

Alexp1
Avrei bisogno di un chiarimento...... (senza ricorrere alla traiettoria cartesiana)si puo' calcolare la curvatura in t=0 di una funzione espressa parametricamente nel modo seguente: (curva:x(t)=t^2,y(t)=t^4) oppure bisogna cercare un' altra parametrizzazione della curva?

Presa la curva:x(t)=t^2,y(t)=t^4 per la formula di Frenet si ha:
dT/ds=k*N (con k indico la curvatura) e T è la tangente unitaria cioè T=((2t/sqrt(4t^2+16t^6)),(4t^3/sqrt(4t^2+16t^6)))

quindi:

dT/ds=dT/dt*dt/ds

s(t)=INT(sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2))dt

quindi:

(ds(t)/dt)=s'(t)=sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2))ossia il modulo del vettore tangente.

Ora moltiplicare per dt/ds significa moltiplicare per la derivata della funzione inversa di s(t) ossia t=(g(s))

quindi g'(s)=1/s'(t), ossia 1/sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2)) essendo il modulo del vettore velocità in t=0 nullo (t=0 è il punto in cui voglio calcolare la curvatura), avro':

dT/dt*(1/sqrt(0^2+0^2) da cui dT/dt*1/0 che è impossibile.

Oltre al fatto che anche le derivate delle componenti del vettore tangente unitario in t=0 danno valori impossibili tipo (2/0 o 0/0).

Bisogna dunque trovare una diversa parametrizzazine della curva?

Grazie!

Risposte
Sk_Anonymous
Dato il tipo di curva si puo'supporre t>=0.Si ha(i termini in grassetto sono vettori):
r=$t^2$ i+$t^4$j
$dr/dt$=2t i+ $4t^3$ j
ds/dt=|d r/dt|=$sqrt(4t^2+16t^6)=2tsqrt(1+4t^4)$
T=(d r/dt)/(ds/dt)=$1/(sqrt(1+4t^4))$ i+$(2t^2)/(sqrt(1+4t^4)) j
d T/dt=$(-8t^3)/(1+4t^4)^(3/2)$ i +$(4t)/(1+4t^4)^(3/2)$ j
d T /ds=(d T/dt)/(ds/dt)=$(-4t^2)/(1+4t^4)^2 $ i+$2/(1+4t^4)^2$ j
$chi=$ |dT/ds|=$sqrt((16t^4+4)/(1+4t^4)^4)=(2sqrt(1+4t^4))/(1+4t^4)^2$
Per t=0 si ha $chi=2$,risultato confermato anche in coordinate cartesiane o da calcoli
elementari.
Archimede

Alexp1
Grazie mille!!!!!!!...hai perfettamente ragione, sbaglivo io a raccogliere!!!!
un'ultima domanda, se me la concedi....
L'ordine di contatto fra curve parametriche lo si verifica in base a quante derivate delle componenti hanno in comune nel punto...ma in casi in cui la parametrizzazione è ostica come si puo' procedere?
Ad es.
Ipotiziamo le curve cartesiane:

y=x^2 e y=2x^2

esse in (0,0) hanno un contatto del primo ordine,

ma se io ho la seguente parametirzzazione delle due curve:

xa(t)=t^2, ya(t)=t^4

xb(t)=2t, yb(t)=8t^2

provando a cercare il contatto in t=0

xa(0)=xb(0), ya(0)=yb(0)

xa'(0) è diverso da xb'(0)

quindi da qui farebbe pensare ad un contatto di ordine 0, ma in realtà il risultato è errato.....
Ok il contatto del primo ordine lo si verifica cercando se hanno stessa retta tangente, ma i contatti successivi?

Mentre per le superfici, come ci si comporta quando capitano parametrizzazioni ostiche, nel senso che falsano l'ordine del contatto? Per il contatto del primo ordine posso verificare che i versori tangenti facciano parte dello stesso piano tangente, ma per gli ordini successivi?

Grazie in anticipo!

mircoFN1
"Alexp":
Avrei bisogno di un chiarimento...... (senza ricorrere alla traiettoria cartesiana)si puo' calcolare la curvatura in t=0 di una funzione espressa parametricamente nel modo seguente: (curva:x(t)=t^2,y(t)=t^4) oppure bisogna cercare un' altra parametrizzazione della curva? ....


Tra l'altro si tratta della semplice parabola $y=x^2$ con $x>=0$.

Alexp1
Ho capito anche io che si tratta della semplice parabola, ma ho specificato "senza utilizzare la traiettoria cartesiana" perchè puo' capitare di essere in "n" dimensioni e di non sapere in concreto con che curva si ha a che fare....quindi bisogna cavarsela con la parametrizzazione.....come dici tu, ossia riconoscere la funzione che lega tra loro le componenti, è corretto, ma questa strada non è sempre percorribile.

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