Calcolo della Curvatura
Avrei bisogno di un chiarimento...... (senza ricorrere alla traiettoria cartesiana)si puo' calcolare la curvatura in t=0 di una funzione espressa parametricamente nel modo seguente: (curva:x(t)=t^2,y(t)=t^4) oppure bisogna cercare un' altra parametrizzazione della curva?
Presa la curva:x(t)=t^2,y(t)=t^4 per la formula di Frenet si ha:
dT/ds=k*N (con k indico la curvatura) e T è la tangente unitaria cioè T=((2t/sqrt(4t^2+16t^6)),(4t^3/sqrt(4t^2+16t^6)))
quindi:
dT/ds=dT/dt*dt/ds
s(t)=INT(sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2))dt
quindi:
(ds(t)/dt)=s'(t)=sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2))ossia il modulo del vettore tangente.
Ora moltiplicare per dt/ds significa moltiplicare per la derivata della funzione inversa di s(t) ossia t=(g(s))
quindi g'(s)=1/s'(t), ossia 1/sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2)) essendo il modulo del vettore velocità in t=0 nullo (t=0 è il punto in cui voglio calcolare la curvatura), avro':
dT/dt*(1/sqrt(0^2+0^2) da cui dT/dt*1/0 che è impossibile.
Oltre al fatto che anche le derivate delle componenti del vettore tangente unitario in t=0 danno valori impossibili tipo (2/0 o 0/0).
Bisogna dunque trovare una diversa parametrizzazine della curva?
Grazie!
Presa la curva:x(t)=t^2,y(t)=t^4 per la formula di Frenet si ha:
dT/ds=k*N (con k indico la curvatura) e T è la tangente unitaria cioè T=((2t/sqrt(4t^2+16t^6)),(4t^3/sqrt(4t^2+16t^6)))
quindi:
dT/ds=dT/dt*dt/ds
s(t)=INT(sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2))dt
quindi:
(ds(t)/dt)=s'(t)=sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2))ossia il modulo del vettore tangente.
Ora moltiplicare per dt/ds significa moltiplicare per la derivata della funzione inversa di s(t) ossia t=(g(s))
quindi g'(s)=1/s'(t), ossia 1/sqrt(|x'(t)|^2+|y'(t)|^2)) essendo il modulo del vettore velocità in t=0 nullo (t=0 è il punto in cui voglio calcolare la curvatura), avro':
dT/dt*(1/sqrt(0^2+0^2) da cui dT/dt*1/0 che è impossibile.
Oltre al fatto che anche le derivate delle componenti del vettore tangente unitario in t=0 danno valori impossibili tipo (2/0 o 0/0).
Bisogna dunque trovare una diversa parametrizzazine della curva?
Grazie!
Risposte
Dato il tipo di curva si puo'supporre t>=0.Si ha(i termini in grassetto sono vettori):
r=$t^2$ i+$t^4$j
$dr/dt$=2t i+ $4t^3$ j
ds/dt=|d r/dt|=$sqrt(4t^2+16t^6)=2tsqrt(1+4t^4)$
T=(d r/dt)/(ds/dt)=$1/(sqrt(1+4t^4))$ i+$(2t^2)/(sqrt(1+4t^4)) j
d T/dt=$(-8t^3)/(1+4t^4)^(3/2)$ i +$(4t)/(1+4t^4)^(3/2)$ j
d T /ds=(d T/dt)/(ds/dt)=$(-4t^2)/(1+4t^4)^2 $ i+$2/(1+4t^4)^2$ j
$chi=$ |dT/ds|=$sqrt((16t^4+4)/(1+4t^4)^4)=(2sqrt(1+4t^4))/(1+4t^4)^2$
Per t=0 si ha $chi=2$,risultato confermato anche in coordinate cartesiane o da calcoli
elementari.
Archimede
r=$t^2$ i+$t^4$j
$dr/dt$=2t i+ $4t^3$ j
ds/dt=|d r/dt|=$sqrt(4t^2+16t^6)=2tsqrt(1+4t^4)$
T=(d r/dt)/(ds/dt)=$1/(sqrt(1+4t^4))$ i+$(2t^2)/(sqrt(1+4t^4)) j
d T/dt=$(-8t^3)/(1+4t^4)^(3/2)$ i +$(4t)/(1+4t^4)^(3/2)$ j
d T /ds=(d T/dt)/(ds/dt)=$(-4t^2)/(1+4t^4)^2 $ i+$2/(1+4t^4)^2$ j
$chi=$ |dT/ds|=$sqrt((16t^4+4)/(1+4t^4)^4)=(2sqrt(1+4t^4))/(1+4t^4)^2$
Per t=0 si ha $chi=2$,risultato confermato anche in coordinate cartesiane o da calcoli
elementari.
Archimede
Grazie mille!!!!!!!...hai perfettamente ragione, sbaglivo io a raccogliere!!!!
un'ultima domanda, se me la concedi....
L'ordine di contatto fra curve parametriche lo si verifica in base a quante derivate delle componenti hanno in comune nel punto...ma in casi in cui la parametrizzazione è ostica come si puo' procedere?
Ad es.
Ipotiziamo le curve cartesiane:
y=x^2 e y=2x^2
esse in (0,0) hanno un contatto del primo ordine,
ma se io ho la seguente parametirzzazione delle due curve:
xa(t)=t^2, ya(t)=t^4
xb(t)=2t, yb(t)=8t^2
provando a cercare il contatto in t=0
xa(0)=xb(0), ya(0)=yb(0)
xa'(0) è diverso da xb'(0)
quindi da qui farebbe pensare ad un contatto di ordine 0, ma in realtà il risultato è errato.....
Ok il contatto del primo ordine lo si verifica cercando se hanno stessa retta tangente, ma i contatti successivi?
Mentre per le superfici, come ci si comporta quando capitano parametrizzazioni ostiche, nel senso che falsano l'ordine del contatto? Per il contatto del primo ordine posso verificare che i versori tangenti facciano parte dello stesso piano tangente, ma per gli ordini successivi?
Grazie in anticipo!
un'ultima domanda, se me la concedi....
L'ordine di contatto fra curve parametriche lo si verifica in base a quante derivate delle componenti hanno in comune nel punto...ma in casi in cui la parametrizzazione è ostica come si puo' procedere?
Ad es.
Ipotiziamo le curve cartesiane:
y=x^2 e y=2x^2
esse in (0,0) hanno un contatto del primo ordine,
ma se io ho la seguente parametirzzazione delle due curve:
xa(t)=t^2, ya(t)=t^4
xb(t)=2t, yb(t)=8t^2
provando a cercare il contatto in t=0
xa(0)=xb(0), ya(0)=yb(0)
xa'(0) è diverso da xb'(0)
quindi da qui farebbe pensare ad un contatto di ordine 0, ma in realtà il risultato è errato.....
Ok il contatto del primo ordine lo si verifica cercando se hanno stessa retta tangente, ma i contatti successivi?
Mentre per le superfici, come ci si comporta quando capitano parametrizzazioni ostiche, nel senso che falsano l'ordine del contatto? Per il contatto del primo ordine posso verificare che i versori tangenti facciano parte dello stesso piano tangente, ma per gli ordini successivi?
Grazie in anticipo!
"Alexp":
Avrei bisogno di un chiarimento...... (senza ricorrere alla traiettoria cartesiana)si puo' calcolare la curvatura in t=0 di una funzione espressa parametricamente nel modo seguente: (curva:x(t)=t^2,y(t)=t^4) oppure bisogna cercare un' altra parametrizzazione della curva? ....
Tra l'altro si tratta della semplice parabola $y=x^2$ con $x>=0$.
Ho capito anche io che si tratta della semplice parabola, ma ho specificato "senza utilizzare la traiettoria cartesiana" perchè puo' capitare di essere in "n" dimensioni e di non sapere in concreto con che curva si ha a che fare....quindi bisogna cavarsela con la parametrizzazione.....come dici tu, ossia riconoscere la funzione che lega tra loro le componenti, è corretto, ma questa strada non è sempre percorribile.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo