Calcolo della convergenza di una serie con coseno
Salve,
ho questa serie
$\sum_{n=1}^(+\infty) (1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n)$
di cui si chiede la convergenza e di calcolare una somma approssimata a 1/200.
Il problema è che non la minima idea di come poter operare.
Per favore aiutatemi.
Grazie
ho questa serie
$\sum_{n=1}^(+\infty) (1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n)$
di cui si chiede la convergenza e di calcolare una somma approssimata a 1/200.
Il problema è che non la minima idea di come poter operare.
Per favore aiutatemi.
Grazie
Risposte
Sulla convergenza non dovrebbero esserci problemi, no?
Per la somma ci si deve pensare, giacché la serie non è proprio maneggevole... Insomma, quel termine col $cos n^2$ è un po’ infido.
Per la somma ci si deve pensare, giacché la serie non è proprio maneggevole... Insomma, quel termine col $cos n^2$ è un po’ infido.
Si potrebbe ragionare maggiorando il termine generale con $2/n^2$
In realtà mi sono bloccato sulla convergenza. Non so come trattare quel coseno. Devo usare un confronto, suppongo, per cercare di ricondurlo ad una serie armonica ma non so proprio come fare.
Quello che avevo pensato io era un confronto asintotico:
per $x->\infty$ allora $(1-cos(x^2))/(x^5e^(1/x))~=\text{numero reale positivo}/x^5$ e quindi la serie converge, ma come penso si sia capito, non so effettivamente come trattare il numeratore con il coseno dato che potrebbe anche risultare 0 dal momento che il coseno oscilla tra 1 e -1.
Quello che avevo pensato io era un confronto asintotico:
per $x->\infty$ allora $(1-cos(x^2))/(x^5e^(1/x))~=\text{numero reale positivo}/x^5$ e quindi la serie converge, ma come penso si sia capito, non so effettivamente come trattare il numeratore con il coseno dato che potrebbe anche risultare 0 dal momento che il coseno oscilla tra 1 e -1.
Se il numeratore si annulla, meglio, no? Il termine generale è ancora più piccolo.
Fai un confonto con una disuguaglianza invece di usare magie asintotiche.
Fai un confonto con una disuguaglianza invece di usare magie asintotiche.
Ma quindi il mio ragionamento con il confronto asintotico è sbagliato o è solo sconsigliabile?
Non ho usato il confronto perchè suppongo che dovrei ricondurmi a qualcosa del tipo $(1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n))$ <=> $1/(n^5)$ ma il mio problema è che $1-cos(n^2)$ oscilla tra 2 e 0 quindi non posso dire che il numeratore di uno sia maggiore dell'altro e a dire il vero se non faccio il confronto asintotico non so nemmeno cosa diventa $e^(1/n)$.
Potreste farmi vedere il passaggio che devo fare? Mi sfugge e non so cosa fare.
Non ho usato il confronto perchè suppongo che dovrei ricondurmi a qualcosa del tipo $(1-cos(n^2))/(n^5e^(1/n))$ <=> $1/(n^5)$ ma il mio problema è che $1-cos(n^2)$ oscilla tra 2 e 0 quindi non posso dire che il numeratore di uno sia maggiore dell'altro e a dire il vero se non faccio il confronto asintotico non so nemmeno cosa diventa $e^(1/n)$.
Potreste farmi vedere il passaggio che devo fare? Mi sfugge e non so cosa fare.
Ciao eccelsius,
Come dovresti sapere, la funzione coseno è compresa fra $-1 $ e $ 1 $ quindi, nel caso più sfigato, il numeratore della serie proposta è nullo, diversamente la serie proposta è a termini positivi ed il numeratore non può essere maggiore di $2 $, per cui $\AA n \ge 1 $ si ha:
$ 0 \le \frac{1 - cos(n^2)}{n^5 e^{1/n}} \le 2/n^5 $
Dalla precedente disuguaglianza si deduce facilmente la convergenza della serie proposta per confronto con la serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha} $ con $\alpha > 1 $
A proposito di quest'ultima, concentrandoci sulla più interessante seconda domanda, sussiste un simpatico risultato sulla stima del resto che si può dedurre dal criterio dell'integrale che afferma che
$s - s_n = r_n < \frac{1}{(\alpha - 1)n^(\alpha - 1)} $
Nel caso in esame in cui $\alpha = 5 $ si ha:
$ \frac{2}{(5 - 1)n^(5 - 1)} \le 1/200 $
$ \frac{1}{2n^4} \le 1/200 \implies n^4 \ge 100 $
Quindi per calcolare la somma approssimata richiesta basta arrivare fino a $n = 4 $
Come dovresti sapere, la funzione coseno è compresa fra $-1 $ e $ 1 $ quindi, nel caso più sfigato, il numeratore della serie proposta è nullo, diversamente la serie proposta è a termini positivi ed il numeratore non può essere maggiore di $2 $, per cui $\AA n \ge 1 $ si ha:
$ 0 \le \frac{1 - cos(n^2)}{n^5 e^{1/n}} \le 2/n^5 $
Dalla precedente disuguaglianza si deduce facilmente la convergenza della serie proposta per confronto con la serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha} $ con $\alpha > 1 $
A proposito di quest'ultima, concentrandoci sulla più interessante seconda domanda, sussiste un simpatico risultato sulla stima del resto che si può dedurre dal criterio dell'integrale che afferma che
$s - s_n = r_n < \frac{1}{(\alpha - 1)n^(\alpha - 1)} $
Nel caso in esame in cui $\alpha = 5 $ si ha:
$ \frac{2}{(5 - 1)n^(5 - 1)} \le 1/200 $
$ \frac{1}{2n^4} \le 1/200 \implies n^4 \ge 100 $
Quindi per calcolare la somma approssimata richiesta basta arrivare fino a $n = 4 $
Ho capito, grazie mille a tutti 
Ottimo svolgimento pilloeffe, ho solo un minimo appunto:
Io direi che quello è il caso migliore possibile, se vogliamo che la serie converga! In quel caso, c'è un addendo nullo. Meglio, no? Se è nullo non può dare nessun problema alla convergenza.
Comunque sono solo chiacchiere, lo svolgimento è perfetto.
"pilloeffe":
Come dovresti sapere, la funzione coseno è compresa fra $-1 $ e $ 1 $ quindi, nel caso più sfigato, il numeratore della serie proposta è nullo,
Io direi che quello è il caso migliore possibile, se vogliamo che la serie converga! In quel caso, c'è un addendo nullo. Meglio, no? Se è nullo non può dare nessun problema alla convergenza.
Comunque sono solo chiacchiere, lo svolgimento è perfetto.
Ciao dissonance,
Grazie!
Intendevo il caso più sfigato dal punto di vista della positività dei termini che al più sono nulli, non della convergenza della serie (da quel punto di vista avere addendi nulli in effetti è quanto di meglio si possa desiderare...
). Comunque hai ragione, perché visto che non si è capito significa che potevo esprimermi meglio...
"dissonance":
Ottimo svolgimento pilloeffe
Grazie!
"dissonance":
Io direi che quello è il caso migliore possibile, se vogliamo che la serie converga!
Intendevo il caso più sfigato dal punto di vista della positività dei termini che al più sono nulli, non della convergenza della serie (da quel punto di vista avere addendi nulli in effetti è quanto di meglio si possa desiderare...
). Comunque hai ragione, perché visto che non si è capito significa che potevo esprimermi meglio...
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