Calcolo del volume di un solido, dubbi su estremi di integrazione e altro.
Salve, l'esercizio richiede di calcolare il volume del seguente solido:
$ {(x,y,z) \in R^3: 4 <= x^2 +y^2 +z^2 <= 9 , x^2 + y^2 >=1} $
e sto trovando difficoltà a capire quali sono gli estremi di integrazione da utilizzare.
Cercando di trovare un'altra strada mi è venuta quest'idea, sebbene non sia sicuro della sua furbizia o della sua validità.
La proiezione sul piano zx dovrebbe essere questa se non ho sbagliato, con la parte in nero ciò che mi interessa.
http://i61.tinypic.com/6hp5sm.png
Un'idea sarebbe di considerare una delle due "porzioni" e quindi di calcolare il volume del solido ottenuto ruotando quest'ultima attorno all'asse z. Suppongo che per motivi di simmetria potrei anche calcolare soltanto il volume dovuto alla porzione in un quadrante e quindi moltiplicarlo per 2.
Primo dubbio: per calcolare quest'ultimo devo calcolare $ \int g(x)^2 - f(x)^2 dx $ con $ 1 <= x <= 3 $ e
$ g(x)= sqrt(9-x^2) , f(x) = sqrt(4-x^2) $
oppure ho sbagliato formula?
Il procedimento è lecito? E se così fosse sarebbe anche abbastanza sensato o ci sono metodi assai più veloci e furbi, ad esempio con un opportuno cambia di variabili. Ho pensato a questo metodo "per sbaglio", il mio dubbio iniziale era su come trovare gli estremi di integrazione giusti, che in queste figure più elaborate mi fanno sempre dannare.
Grazie in anticipo.
$ {(x,y,z) \in R^3: 4 <= x^2 +y^2 +z^2 <= 9 , x^2 + y^2 >=1} $
e sto trovando difficoltà a capire quali sono gli estremi di integrazione da utilizzare.
Cercando di trovare un'altra strada mi è venuta quest'idea, sebbene non sia sicuro della sua furbizia o della sua validità.
La proiezione sul piano zx dovrebbe essere questa se non ho sbagliato, con la parte in nero ciò che mi interessa.
http://i61.tinypic.com/6hp5sm.png
Un'idea sarebbe di considerare una delle due "porzioni" e quindi di calcolare il volume del solido ottenuto ruotando quest'ultima attorno all'asse z. Suppongo che per motivi di simmetria potrei anche calcolare soltanto il volume dovuto alla porzione in un quadrante e quindi moltiplicarlo per 2.
Primo dubbio: per calcolare quest'ultimo devo calcolare $ \int g(x)^2 - f(x)^2 dx $ con $ 1 <= x <= 3 $ e
$ g(x)= sqrt(9-x^2) , f(x) = sqrt(4-x^2) $
oppure ho sbagliato formula?
Il procedimento è lecito? E se così fosse sarebbe anche abbastanza sensato o ci sono metodi assai più veloci e furbi, ad esempio con un opportuno cambia di variabili. Ho pensato a questo metodo "per sbaglio", il mio dubbio iniziale era su come trovare gli estremi di integrazione giusti, che in queste figure più elaborate mi fanno sempre dannare.
Grazie in anticipo.
Risposte
io proverei ad utilizzare le coordinate sferiche
$ { ( x=\rho \sin\phi \cos\theta ),( y=\rho \sin \phi \sin\theta ),( z=\rho \cos\phi ):} $
così ottieni che.. $ { ( 2\leq \rho\leq 3 ),( \rho^2\sin\phi\ge 1 ):} $
ah la seconda equazione l'ho ottenuta sostituendo nella seconda diseguaglianza dell'insieme le nuove coordinate..
ora..sarà per l'ora..non lo so.. ma credo che
$ \sin \phi\geq (1)/(\rho^2)\to \arcsin((1)/(\rho^2))\leq \phi\leq \pi-\arcsin((1)/(\rho^2)) $
mentre poi $\theta \in [0,2\pi]$
ah e ovviamente $ det Jac=\rho^2\sin \phi $
Però chiedi conferma, perchè NON sono tanto sicuro..
$ { ( x=\rho \sin\phi \cos\theta ),( y=\rho \sin \phi \sin\theta ),( z=\rho \cos\phi ):} $
così ottieni che.. $ { ( 2\leq \rho\leq 3 ),( \rho^2\sin\phi\ge 1 ):} $
ah la seconda equazione l'ho ottenuta sostituendo nella seconda diseguaglianza dell'insieme le nuove coordinate..
ora..sarà per l'ora..non lo so.. ma credo che
$ \sin \phi\geq (1)/(\rho^2)\to \arcsin((1)/(\rho^2))\leq \phi\leq \pi-\arcsin((1)/(\rho^2)) $
mentre poi $\theta \in [0,2\pi]$
ah e ovviamente $ det Jac=\rho^2\sin \phi $
Però chiedi conferma, perchè NON sono tanto sicuro..
Innanzitutto grazie per la risposta.
Venendo alla tua proposta non saprei, avere degli $ arcsin(1/\rho^2) $ come estremi di integrazione mi sembra abbastanza tosto, e facendo una verifica veloce ho visto che nella soluzione dovrebbe comparire anche un integrale ellittico.
Prima avevo provato anche ad utilizzare le coordinate cilindriche, ma mi ero bloccato dopo aver visto le disequazioni ottenute.
Per trovare estremi di integrazioni adatti non conviene di solito guardare la proiezione del solido su qualche piano?
Altrimenti che ne dici della mia risoluzione alternativa? Anche se sembra più laboriosa del necessario.
Venendo alla tua proposta non saprei, avere degli $ arcsin(1/\rho^2) $ come estremi di integrazione mi sembra abbastanza tosto, e facendo una verifica veloce ho visto che nella soluzione dovrebbe comparire anche un integrale ellittico.
Prima avevo provato anche ad utilizzare le coordinate cilindriche, ma mi ero bloccato dopo aver visto le disequazioni ottenute.
Per trovare estremi di integrazioni adatti non conviene di solito guardare la proiezione del solido su qualche piano?
Altrimenti che ne dici della mia risoluzione alternativa? Anche se sembra più laboriosa del necessario.
ciao,io la risolverei così:
dobbiamo calcolare $V_1-V_2$, con
$V_1$ volume dello spazio contenuto tra le sfere di centro l'origine e raggi 2 e 3
$V_2$ volume della parte di spazio di cui sopra per la quale $x^2+y^2 leq 1$
$V_1$ si può calcolare anche con la geometria elementare
per $V_2/2$ userei le coordinate cilindriche $rho in [0,1];theta in[0,2pi];z in [sqrt(4-rho^2),sqrt(9-rho^2)]$
dobbiamo calcolare $V_1-V_2$, con
$V_1$ volume dello spazio contenuto tra le sfere di centro l'origine e raggi 2 e 3
$V_2$ volume della parte di spazio di cui sopra per la quale $x^2+y^2 leq 1$
$V_1$ si può calcolare anche con la geometria elementare
per $V_2/2$ userei le coordinate cilindriche $rho in [0,1];theta in[0,2pi];z in [sqrt(4-rho^2),sqrt(9-rho^2)]$
Effettivamente non avevo pensato a calcolare il volume V_2 e quindi di sottrarlo a quello della regione tra le due sfere.
Per quanto riguarda gli estremi su $ z $ hai considerato il semiasse positivo e dalle disequazioni di partenza ottieni
$ 4- \rho^2 <= z^2 <= 9 - \rho^2 $ e prendi solo le condizioni che hanno $ z $ positivo (e.g. scarti $ z <= - sqrt(4-\rho^2) $ )
Poi per simmetria sai già quanto vale la parte nel semiasse negativo. Giusto?
Purtroppo faccio fatica ad immaginare queste figure tridimensionali e per questo non riesco a vedere con facilità condizioni di per sè immediate.
Per quanto riguarda gli estremi su $ z $ hai considerato il semiasse positivo e dalle disequazioni di partenza ottieni
$ 4- \rho^2 <= z^2 <= 9 - \rho^2 $ e prendi solo le condizioni che hanno $ z $ positivo (e.g. scarti $ z <= - sqrt(4-\rho^2) $ )
Poi per simmetria sai già quanto vale la parte nel semiasse negativo. Giusto?
Purtroppo faccio fatica ad immaginare queste figure tridimensionali e per questo non riesco a vedere con facilità condizioni di per sè immediate.
"username90":
Purtroppo faccio fatica ad immaginare queste figure tridimensionali
a volte faccio fatica anche io
"stormy":
[quote="username90"]Purtroppo faccio fatica ad immaginare queste figure tridimensionali
a volte faccio fatica anche io
[/quote]La cosa in parte mi rincuora
Giusto per romperti ancora un secondo mi confermi il modo in cui hai trovato i vincoli su $ z $ ?
E, nel caso ci avessi dato un'occhiata, sapresti mica se il mio metodo spiegato nel primo post è valido? In particolare la formula del volume di un solido di rotazione, dal momento che è più una rimembranza del liceo.
"username90":
mi confermi il modo in cui hai trovato i vincoli su z ?
sì,hai capito bene
"username90":
il mio metodo spiegato nel primo post è valido?
francamente, il tuo riferirti al piano xz mi ha destabilizzato e quindi mi astengo dal giudizio(non vorrei dire cretinate)
"username90":
formula del volume di un solido di rotazione, dal momento che è più una rimembranza del liceo.
manca un $pi$ all'esterno dell'integrale
"stormy":
francamente, il tuo riferirti al piano xz mi ha destabilizzato e quindi mi astengo dal giudizio(non vorrei dire cretinate)
Ah ok, non preoccuparti allora
manca un $pi$ all'esterno dell'integrale
Giusto, il mio dubbio però era più che altro sugli estremi di integrazione, ma dovrebbero essere giusti.
Grazie ancora per le risposte
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