Calcolo del volume di un solido con integrale triplo
salve a tutti:
devo calcolare il volume della porzione di spazio compresa tra la porzione di sfera d'equazione $x^2+y^2+z^2=2$, con $z>=0$,
e il paraboloide d'equazione $z=x^2+y^2-2$
allora qui non credo che sipossano applicare almeno all inizio i cambiamenti di variabile tramite coordinate sferiche o altro... quindi penso che il dominio su cui integrare la $z$ è
$sqrt(2-x^2-y^2)<=z<=x^2+y^2-2$
Mi sbaglio??
Il problema però poi dopo nasce quando devo adare a calcolare l'integrale doppio... il mio dubbio è : quale è il dominio su cui vado ad effettuare il calcolo dell'integrale doppio??
non è un cerchio vero??
Datemiun input se potete grazie mille
devo calcolare il volume della porzione di spazio compresa tra la porzione di sfera d'equazione $x^2+y^2+z^2=2$, con $z>=0$,
e il paraboloide d'equazione $z=x^2+y^2-2$
allora qui non credo che sipossano applicare almeno all inizio i cambiamenti di variabile tramite coordinate sferiche o altro... quindi penso che il dominio su cui integrare la $z$ è
$sqrt(2-x^2-y^2)<=z<=x^2+y^2-2$
Mi sbaglio??
Il problema però poi dopo nasce quando devo adare a calcolare l'integrale doppio... il mio dubbio è : quale è il dominio su cui vado ad effettuare il calcolo dell'integrale doppio??
non è un cerchio vero??
Datemiun input se potete grazie mille
Risposte
Penso che sia $x^2+y^2-2<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)$...
Il dominio per il calcolo dell'integrale doppio mi pare che sia $x^2+y^2<=2$...
potresti motivarmi i passaggi che hai fatto fireball?? Ah e grazie per avermi risposto
Ho messo a sistema le equazioni delle due quadriche per vedere in quali curve si intersecano (parliamo di intersezione
di superfici nello spazio, per cui si parlerà in generale di curve, e non di punti di intersezione, come accade per le curve nel piano).
Il paraboloide e la sfera si tagliano in due circonferenze, una è ${(x^2+y^2=2),(z=0):}$, l'altra ${(x^2+y^2=1),(z= -1):}$.
Però il testo ti dice di considerare solo il semispazio $z>=0$, dunque devi considerare la prima circonferenza.
Quindi il dominio di integrazione dovrebbe essere $x^2+y^2<=2$ (l'interno della circonferenza, più la circonferenza stessa); d'altra
parte questo te lo potevi già aspettare dal fatto che, esplicitando $z>=0$ dall'equazione della sfera, hai $z=sqrt(2-x^2-y^2)$ che esiste
solo in $x^2+y^2<=2$... Ma a questo punto, quello che non capisco è che ruolo giochi il paraboloide, visto che se prendo $z>=0$, l'intersezione
tra il paraboloide e la semisfera è solo la semisfera...
di superfici nello spazio, per cui si parlerà in generale di curve, e non di punti di intersezione, come accade per le curve nel piano).
Il paraboloide e la sfera si tagliano in due circonferenze, una è ${(x^2+y^2=2),(z=0):}$, l'altra ${(x^2+y^2=1),(z= -1):}$.
Però il testo ti dice di considerare solo il semispazio $z>=0$, dunque devi considerare la prima circonferenza.
Quindi il dominio di integrazione dovrebbe essere $x^2+y^2<=2$ (l'interno della circonferenza, più la circonferenza stessa); d'altra
parte questo te lo potevi già aspettare dal fatto che, esplicitando $z>=0$ dall'equazione della sfera, hai $z=sqrt(2-x^2-y^2)$ che esiste
solo in $x^2+y^2<=2$... Ma a questo punto, quello che non capisco è che ruolo giochi il paraboloide, visto che se prendo $z>=0$, l'intersezione
tra il paraboloide e la semisfera è solo la semisfera...
eh già.... è vero... beh il paraboloide a questo punto servirebbe solo quando si va ad integrare la $z$ ... che dici?
Eh no, risulterebbe $0<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)$ e basta...
scusami fireball..ma quando si va ad integrare la $z$ quindi non si deve considerare
$sqrt(2-x^2-y^2)<=z<=x^2+y^2-2$ ... ?
ah scusami ancora fireball... potresti motivarmi appunto anche la tua correzione:
geazie ancora per la collaborazione
$sqrt(2-x^2-y^2)<=z<=x^2+y^2-2$ ... ?
ah scusami ancora fireball... potresti motivarmi appunto anche la tua correzione:
"fireball":
Penso che sia $x^2+y^2-2<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)$...
geazie ancora per la collaborazione
Se prendi solo la SEMISFERA ($z>=0$) no, devi prendere $0<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)$.
Lascia perdere la correzione... Diciamo che l'ho scritta così perché ha senso scrivere $a<=z<=b$ solo se $a<=b$...
Dato che $sqrt(2-x^2-y^2)$ è una quantità sempre positiva, mentre $x^2+y^2-2$ può essere negativa, non ha senso
in generale scrivere $sqrt(2-x^2-y^2)<=z<=x^2+y^2-2$...
Lascia perdere la correzione... Diciamo che l'ho scritta così perché ha senso scrivere $a<=z<=b$ solo se $a<=b$...
Dato che $sqrt(2-x^2-y^2)$ è una quantità sempre positiva, mentre $x^2+y^2-2$ può essere negativa, non ha senso
in generale scrivere $sqrt(2-x^2-y^2)<=z<=x^2+y^2-2$...
ho capito... e scusami ma allora il paraboloide a che servirebbe?? .....
A niente! Se fai un disegno del corrispettivo bidimensionale (calcolare l'area compresa tra la parabola $x^2-y=2$ e la circonferenza $x^2+y^2=2$), ti accorgi
che prendendo soltanto il semicerchio corrispondente a $y>=0$, l'intersezione tra questo semicerchio e l'"interno della parabola", per così dire, è data proprio soltanto dal semicerchio.
che prendendo soltanto il semicerchio corrispondente a $y>=0$, l'intersezione tra questo semicerchio e l'"interno della parabola", per così dire, è data proprio soltanto dal semicerchio.
ho capito ho capito allora devo integrare la $z$ come tu mi hai detto... e poi il dominio dell'integrale doppio risulta essere unc erchio... ho capito .... e li potrei applicare anche le coordinate polari... grazie
Sì, direi che è abbastanza semplice come esercizio di calcolo, il difficile poteva essere giusto capire bene quale fosse il dominio su cui integrare.
grazie fireball grazie grazie 
Aspetta però... mi sta venendo un dubbio ora... Forse, rileggendo bene il testo, non chiedeva di
calcolare il volume dell'intersezione dei due solidi (semisfera e paraboloide), ma della porzione di spazio
compresa tra la superficie di equazione $x^2+y^2-z=2$ e la superficie $z=sqrt(2-x^2-y^2)$.
In questo caso, devi considerare come dicevo prima $x^2+y^2-2<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)$;
il dominio su cui calcolare l'integrale doppio non cambia.
calcolare il volume dell'intersezione dei due solidi (semisfera e paraboloide), ma della porzione di spazio
compresa tra la superficie di equazione $x^2+y^2-z=2$ e la superficie $z=sqrt(2-x^2-y^2)$.
In questo caso, devi considerare come dicevo prima $x^2+y^2-2<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)$;
il dominio su cui calcolare l'integrale doppio non cambia.
ah...ho capito ho capito okok... mmm però scusami se ti faccio questa domanda un pò stupida forse.. ma non dovrebbe essere $sqrt(2-x^2-y^2)<=z<=x^2+y^2-2$ anzichè come hai scritto tu??
scusami forse questa è una domanda che ti ho gia fatto in precedensa ma non ho capito ancora...
scusami forse questa è una domanda che ti ho gia fatto in precedensa ma non ho capito ancora...
No, è come ho scritto io; te ne puoi accorgere in due modi: 1) facendo un disegno (per esempio il corrispettivo
bidimensionale, come ti ho detto prima); 2) calcolando l'integrale utilizzando
il tuo intervallo e ottenendo così un valore negativo per il volume della porzione di spazio che ci interessa: il fatto che
il volume venga negativo dipende dal fatto che il secondo estremo dell'integrale in $dz$ è MINORE del primo
(quindi, per dirla con i fisici che tanto amano l'elementino infinitesimo, "il dz è negativo").
bidimensionale, come ti ho detto prima); 2) calcolando l'integrale utilizzando
il tuo intervallo e ottenendo così un valore negativo per il volume della porzione di spazio che ci interessa: il fatto che
il volume venga negativo dipende dal fatto che il secondo estremo dell'integrale in $dz$ è MINORE del primo
(quindi, per dirla con i fisici che tanto amano l'elementino infinitesimo, "il dz è negativo").
Sei stato chiarissimo grazie Fireball
grazie Fireball
ah senti fireball un'altra cosa: svolgerò i calcoli e piu tardi posto anche il risultato per vedere se è esatto meno
svolgerò i calcoli al piu presto..non ho avuto tempo... li posterò quanto prima
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