Calcolo del versore normale

[riccardo.bailoni]

Ciao a tutti, ho un dubbio su un esercizio piuttosto banale sul calcolo del flusso attraverso un superficie, vi indico il testo:

Calcolare il flusso uscente del vettore $vec(v)(x,y,z)=(x,y,z)$ attraverso la superficie laterale data dagli insiemi $A=[(x,y) in R^2 : (x-1)^2+y^2<1, x>1]$ e $B=[(x,y,z) in R^3 : (x,y) in A, 0
Una volta parametrizzato la superficie laterale dividendola in due parti $S1=(1+cosTheta, sinTheta, z), Theta in [-pi/2,pi/2], z in [0,1]$ e $S2=(1,y,z), y in [-1,1], z in [0,1]$ ho il dubbio su come trovare il versore normale, ovvero, essendo $ vec(n) = (partialvec(r) )/(partial u) xx (partialvec(r) )/(partial v) $
non so, ad esempio per trovare il versore relativo ad S1, quale variabile scegliere come u e quale come v.

Spero di essere stato chiaro, grazie in anticipo!
Riccardo

[billyballo2123]

Bhè, se come hai scritto tu parametrizziamo la superficie $S_1=\{(1+\cos u, \sin u,v):u\in [-\pi/2,\pi/2], v\in [0,1]\}$, allora ${\partial \stackrel{\to}{r}}/{\partial u}=(-\sin u,\cos u,0)$ e ${\partial \stackrel{\to}{r}}/{\partial v}=(0,0,1)$. Dunque
\[
\stackrel{\to}{\textbf{n}}=
\begin{vmatrix}
\stackrel{\to}{\textbf{i}} & \stackrel{\to}{\textbf{j}} & \stackrel{\to}{\textbf{k}} \\
-\sin u & \cos u & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=(\cos u, \sin u, 0)
.
\]
Analogamente se $S_2=\{(1,u,v):u\in [-1,1], v\in [0,1]\}$, allora ${\partial \stackrel{\to}{r}}/{\partial u}=(0,1,0)$ e ${\partial \stackrel{\to}{r}}/{\partial v}=(0,0,1)$. Dunque
\[
\stackrel{\to}{\textbf{n}}=
\begin{vmatrix}
\stackrel{\to}{\textbf{i}} & \stackrel{\to}{\textbf{j}} & \stackrel{\to}{\textbf{k}} \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
=(1,0,0)
\]
(osserva che i vettori normali hanno norma uno, quindi non occorre normalizzare).

In generale puoi decidere tu quale possa essere la variabile $u$ e quale possa essere la variabile $v$; in base alla tua scelta, otterrai un versore normale oppure il suo opposto, e starà poi a te decidere quale versore scegliere in base all'esercizio. In questo caso dato che calcoliamo il flusso uscente, dobbiamo usare la normale esterna, e si intuisce abbastanza facilmente che le normali esterne alle due superfici laterali sono $(\cos u,\sin u,0)$ e $(-1,0,0)$.

[riccardo.bailoni]

Grazie per il chiarimento, ma non ho capito una cosa: il versore uscente da S2 non dovrebbe essere $(-1,0,0)$ ? Visto che deve essere all'esterno del "solido"? Spero di non aver detto castronerie... E come faccio a intuire se $(cos u, sin u, 0)$ è uscente o entrante? Sarà banale ma non capisco proprio..

grazie

[billyballo2123]

Ehm................................. In effetti ho detto che è banale ma pure io ho sbagliato!!!!!!

Hai ragione tu: il versore uscente da $S_2$ è $(-1,0,0)$ (correggo il messaggio vecchio per quelli che leggeranno in futuro), mentre per $S_1$ è giusto quello che ti ho scritto.Il modo migliore per convincersene è disegnare la superficie e poi fissato un punto $P=(1+\cos u,\sin u,v)$ disegnare il vettore $(\cos u,\sin u,0)$ applicato a $P$.

Questo metodo ovviamente non è rigoroso (come tutte le dimostrazioni che sfruttano un disegno). Per decidere quale dei due versori normali è esterno, bisognerebbe parlare di orientabilità, ma in casi come questo sarebbe pedante dato che la superficie si può immaginare abbastanza facilmente (guarda l'immagine).



Ora che osservo meglio, nell'enunciato dell'esercizio che hai scritto tu non si parla della superficie $S_2$...