Calcolo del versore normale?
Ciao ragazzi ! sono nuovo del forum e spero mi possiate aiutare con questo esercizio all'apparenza semplice ma che mi sta dando problemi 
!
Non riesco a calcolare il versore normale in un esercizio dove bisogna applicare il teorema di stokes.
io ho un campo F =-xy i + xy k ( i e k sono solo due vettori)
poi una superficie S= { (x,y,z)€ R3 : z = 3 - x^2 - y^2}
il rotore l'ho facilmente calcolato e viene: x - y +x
la normale a me viene : n= (2x , 2y , 1)
ma mi dice che la normale vale (0,0,1) ?? come mai??
Se vi serve posto tutto l'esercizio:
In R3 , si consideri il campo vettoriale
F(x; y; z) = xy i + xy k
Sia S la porzione della super cie di equazione
S = f(x; y; z) € R3 : z = 3 - x^2 - y^2}
la cui proiezione sul piano x; y e il disco
D = f(x; y) € R2 : x^2 + y^2=1
Si fi ssi su S una orientazione mediante un versore normale n , in modo tale che nel punto (0; 0; 3) 2 S il versore
n sia diretto come k .
a) Enunciare il teorema di Stokes nello spazio.
b) Calcolare il flusso di rot F attraverso la super cie S , orientata con il versore normale n fis sato.
Grazie mille a chi mi aiuterà
!
! Non riesco a calcolare il versore normale in un esercizio dove bisogna applicare il teorema di stokes.
io ho un campo F =-xy i + xy k ( i e k sono solo due vettori)
poi una superficie S= { (x,y,z)€ R3 : z = 3 - x^2 - y^2}
il rotore l'ho facilmente calcolato e viene: x - y +x
la normale a me viene : n= (2x , 2y , 1)
ma mi dice che la normale vale (0,0,1) ?? come mai??
Se vi serve posto tutto l'esercizio:
In R3 , si consideri il campo vettoriale
F(x; y; z) = xy i + xy k
Sia S la porzione della super cie di equazione
S = f(x; y; z) € R3 : z = 3 - x^2 - y^2}
la cui proiezione sul piano x; y e il disco
D = f(x; y) € R2 : x^2 + y^2=1
Si fi ssi su S una orientazione mediante un versore normale n , in modo tale che nel punto (0; 0; 3) 2 S il versore
n sia diretto come k .
a) Enunciare il teorema di Stokes nello spazio.
b) Calcolare il flusso di rot F attraverso la super cie S , orientata con il versore normale n fis sato.
Grazie mille a chi mi aiuterà
!
Risposte
Metti un simbolo di dollaro prima e dopo tutte le formule così si formatteranno meglio.
Non vorrei che il testo calcolasse semplicemente il versore normale della proiezione sul piano dato che il flusso del rotore è lo stesso per il teorema di Stokes appunto
Non vorrei che il testo calcolasse semplicemente il versore normale della proiezione sul piano dato che il flusso del rotore è lo stesso per il teorema di Stokes appunto
Aggiungo:
Lasciando un attimo da parte il tuo esercizio, se abbiamo una curva chiusa regolare \(\gamma\) e un campo vettoriale \(\rm{F}\) il teorema di Stokes ci dice che date due superfici \(S_1,S_2\) orientate opportunamente aventi per bordo la curva \(\gamma\), ovvero \(\partial S_1 = \partial S_2 = \gamma\), si ha che
\[\int_{S_1} \langle \nabla \times \mathbf{F}, \mathbf{n} \rangle \ \mathrm{d}s = \int_{S_2} \langle \nabla \times \mathbf{F}, \mathbf{n} \rangle \ \mathrm{d}s = \oint_{\gamma} \langle \mathbf{F}, \mathbf{t} \rangle \ \mathrm{d}l \]
Abbiamo due conseguenze, la prima che l'integrale sul bordo è equivalente al flusso attraverso una superficie arbitraria, ma la secondo, che è quella a cui mi riferivo prima, che il flusso del rotore è invariante rispetto alla superficie scelta (purché soddisfi quei vincoli di regolarità, orientamento e che il bordo sia la curva).
Quindi per risolvere il tuo esercizio sarebbe sufficiente calcolare il flusso del rotore attraverso il disco nel piano \(xy\) che avrà ovviamente vettore normale \(\mathbf{n} = \mathbf{k} = (0,0,1)^T\).
Non sono sicuro al 100% di quanto detto, ci devo ancora riflettere, che ne pensi?
Lasciando un attimo da parte il tuo esercizio, se abbiamo una curva chiusa regolare \(\gamma\) e un campo vettoriale \(\rm{F}\) il teorema di Stokes ci dice che date due superfici \(S_1,S_2\) orientate opportunamente aventi per bordo la curva \(\gamma\), ovvero \(\partial S_1 = \partial S_2 = \gamma\), si ha che
\[\int_{S_1} \langle \nabla \times \mathbf{F}, \mathbf{n} \rangle \ \mathrm{d}s = \int_{S_2} \langle \nabla \times \mathbf{F}, \mathbf{n} \rangle \ \mathrm{d}s = \oint_{\gamma} \langle \mathbf{F}, \mathbf{t} \rangle \ \mathrm{d}l \]
Abbiamo due conseguenze, la prima che l'integrale sul bordo è equivalente al flusso attraverso una superficie arbitraria, ma la secondo, che è quella a cui mi riferivo prima, che il flusso del rotore è invariante rispetto alla superficie scelta (purché soddisfi quei vincoli di regolarità, orientamento e che il bordo sia la curva).
Quindi per risolvere il tuo esercizio sarebbe sufficiente calcolare il flusso del rotore attraverso il disco nel piano \(xy\) che avrà ovviamente vettore normale \(\mathbf{n} = \mathbf{k} = (0,0,1)^T\).
Non sono sicuro al 100% di quanto detto, ci devo ancora riflettere, che ne pensi?
ok ora è chiaro 
! ma γ cosa simboleggia? quale curva chiusa?
cioè voglio chiedere... quali sono le condizioni affinchè io possa scegliere una o l'altra superficie? perchè potevo scegliere anche il disco?
grazie mille mi stai dando una grande mano!
! ma γ cosa simboleggia? quale curva chiusa?cioè voglio chiedere... quali sono le condizioni affinchè io possa scegliere una o l'altra superficie? perchè potevo scegliere anche il disco?
grazie mille
mi stai dando una grande mano!
no scusa mi sto confondendo.. la normale del disco non dovrebbe essere anche quella $(-2x^2, -2y^2 ,1)$?
per calcolare la normale non bisogna fare le derivate rispetto a x a y e l'ultimo componente è 1?
io la calcolo con la formula: $(-dg/dx , - dg/dy , 1)$
per calcolare la normale non bisogna fare le derivate rispetto a x a y e l'ultimo componente è 1?
io la calcolo con la formula: $(-dg/dx , - dg/dy , 1)$
Innanzi tutto, hai per caso il risultato del calcolo del flusso? Sarebbe d'aiuto per capire se siamo sulla giusta strada. Aspetto quello, vedo un po' se è corretto quanto dicevo e poi te lo espongo, ok?
Altrimenti rischio di confonderti le idee.
Altrimenti rischio di confonderti le idee.
Si il flusso alla fine viene $0$.
comunque ho calcolato l'integrale $ {(x,y,x) X (2x,2y,1) dxdy}$ e alla fine trasformandolo in coordinate polari alla fine viene $0$.
ma di sicuro con il tuo metodo è più semplice ! quindi vorrei capirlo
comunque ho calcolato l'integrale $ {(x,y,x) X (2x,2y,1) dxdy}$ e alla fine trasformandolo in coordinate polari alla fine viene $0$.
ma di sicuro con il tuo metodo è più semplice ! quindi vorrei capirlo
Ho fatto un po' di conti e ora cerco di spiegarmi meglio. Riscrivo tutto per fare il quadro completo.
Abbiamo un campo \(\mathbf{F}(x,y,z) = \left( -xy,0,xy\right)^T\) e il suo rotore \(\nabla \times \mathbf{F}(x,y,z) = \left(x,-y,x\right)^T\) e la superficie:
\[S := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ \ z = 3-x^2-y^2 \ \wedge \ z \ge 0\right\}\]
Ho aggiunto la condizione \(z \ge 0\) altrimenti l'esercizio non ha troppo senso.
Il bordo della superficie è la circonferenza \(\gamma\) intersezione del nostro paraboloide con il piano \(xy\), ovvero \[\gamma: = \partial S = S \ \bigcap \ \{z = 0\} = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ \ x^2 + y^3 = 3 \ \wedge \ z= 0\right\}\]
Il testo ci dice di fissare l'orientazione della superficie, il versore normale, all'esterno (concorde con l'asse \(z\)).
____________________________________
A questo punto siamo pronti per cominciare: dobbiamo calcolare il flusso del rotore attraverso la superficie \(S\), ovvero:
\[\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma\]
[size=120]Alternativa 1[/size]
La prima alternativa è fare il calcolo diretto del flusso del rotore.
Si trova il vettore normale[nota]Indico con \(\mathbf{N}\) il vettore normale e con \(\mathbf{n}\) il versore normale, ovvero \(\mathbf{n} = \mathbf{N}/\|\mathbf{N}\|\). Inoltre si ha \(\mathbf{n} \mathrm{d}\sigma = \mathbf{n} \|\mathbf{N}\| \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \mathbf{N} \mathrm{d}u\mathrm{d}v\)[/nota], che è \(\mathbf{N} = (2x,2y,1)\) e si calcola:
\[\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma\]
Se indichiamo con \(D\) il disco \(\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \ \ x^2 + y^2 \le 3\right\}\) abbiamo:
\[\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \iint_D \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]
Che è un semplice integrale in 2 variabili che risulta nullo.
[size=120]Alternativa 2[/size]
Come scrivevo nel mio secondo messaggio, per il teorema di Stokes noi sappiamo che:
\[\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \oint_\gamma \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} \ \mathrm{d}l\]
Questo risultato ci apre una seconda strada per calcolare il nostro flusso: anzichè calcolare l'integrale di sinistra, possiamo calcolare la circuitazione lungo \(\gamma\) del campo \(\mathbf{F}\) (l'integrale di destra).
Quindi possiamo parametrizzare la curva \(\gamma\) così (dev'essere percorsa in senso anti orario!):
\[\mathbf{r}(\theta) = \left( \sqrt{3}\cos{\theta},\sqrt{3}\sin{\theta},0\right)^T \quad \theta \in [0,2\pi]\]
E calcolare l'integrale di linea:
\[\oint_\gamma \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} \ \mathrm{d}l = \int_0^{2 \pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)) \cdot \mathbf{r}'(\theta) d\theta\]
che risulta anch'esso \(0\).
[size=120]Alternativa 3[/size]
La terza via è la seguente. Il teorema di Stokes ci dice che il flusso del rotore di un campo attraverso una superficie avente per bordo \(\gamma\) è equivalente alla circuitazione su \(\gamma\) del campo. Siano \(S_1\) ed \(S_2\) due superfici soddisfacenti le ipotesi del teorema di Stokes, allora si avrà:
\[\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \oint_\gamma \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} \ \mathrm{d}l\]
\[\int_{S_2}\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \oint_\gamma \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} \ \mathrm{d}l\]
Da cui segue che:
\[\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma\]
Questo significa che per calcolare il nostro flusso possiamo scegliere qualsiasi altra superficie avente per bordo \(\gamma\). La cosa sensata è sceglierne una molto semplice. Possiamo prendere ad esempio proprio il disco \(D\) a cui abbiamo accennato prima. Dobbiamo per prima cosa parametrizzarlo. Ad esempio:
\[\mathbf{r}(\rho,\theta) = \left( \rho \cos{\theta},\rho \sin{\theta},0\right) \quad (\rho,\theta) \in [0,1] \times [0,2 \pi]\]
A questo punto possiamo considerare la superficie \(\Sigma = (D,\mathbf{r})\) e calcolare:
\[\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma\]
La cosa vantaggiosa è che il versore (non il vettore!) normale sarà semplicemente \[\mathbf{n} = (0,0,1)\] e quindi:
\[\int_0^1 \int_0^{2 \pi} \left(\nabla \times \mathbf{F}(\mathbf{r}(\rho,\theta)) \cdot \mathbf{N}\right) \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta\]
che risulta, come dev'essere nullo.
______________
Spero di averti fornito un quadro completo. Non ho messo i calcoli (che ho fatto) per il semplice fatto che io tento a parametrizzare tutto e non ti saresti trovato troppo con le formule che tu utilizzi. Ad esempio per me il vettore tangente è \(\partial_u \mathbf{r} \times \partial_v \mathbf{r}\) perchè lavoro con superfici parametriche.
Se hai domande chiedi e proverò a risponderti
Abbiamo un campo \(\mathbf{F}(x,y,z) = \left( -xy,0,xy\right)^T\) e il suo rotore \(\nabla \times \mathbf{F}(x,y,z) = \left(x,-y,x\right)^T\) e la superficie:
\[S := \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ \ z = 3-x^2-y^2 \ \wedge \ z \ge 0\right\}\]
Ho aggiunto la condizione \(z \ge 0\) altrimenti l'esercizio non ha troppo senso.
Il bordo della superficie è la circonferenza \(\gamma\) intersezione del nostro paraboloide con il piano \(xy\), ovvero \[\gamma: = \partial S = S \ \bigcap \ \{z = 0\} = \left\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3: \ \ x^2 + y^3 = 3 \ \wedge \ z= 0\right\}\]
Il testo ci dice di fissare l'orientazione della superficie, il versore normale, all'esterno (concorde con l'asse \(z\)).
____________________________________
A questo punto siamo pronti per cominciare: dobbiamo calcolare il flusso del rotore attraverso la superficie \(S\), ovvero:
\[\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma\]
[size=120]Alternativa 1[/size]
La prima alternativa è fare il calcolo diretto del flusso del rotore.
Si trova il vettore normale[nota]Indico con \(\mathbf{N}\) il vettore normale e con \(\mathbf{n}\) il versore normale, ovvero \(\mathbf{n} = \mathbf{N}/\|\mathbf{N}\|\). Inoltre si ha \(\mathbf{n} \mathrm{d}\sigma = \mathbf{n} \|\mathbf{N}\| \mathrm{d}u\mathrm{d}v = \mathbf{N} \mathrm{d}u\mathrm{d}v\)[/nota], che è \(\mathbf{N} = (2x,2y,1)\) e si calcola:
\[\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma\]
Se indichiamo con \(D\) il disco \(\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: \ \ x^2 + y^2 \le 3\right\}\) abbiamo:
\[\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \iint_D \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{N} \ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \]
Che è un semplice integrale in 2 variabili che risulta nullo.
[size=120]Alternativa 2[/size]
Come scrivevo nel mio secondo messaggio, per il teorema di Stokes noi sappiamo che:
\[\int_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \oint_\gamma \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} \ \mathrm{d}l\]
Questo risultato ci apre una seconda strada per calcolare il nostro flusso: anzichè calcolare l'integrale di sinistra, possiamo calcolare la circuitazione lungo \(\gamma\) del campo \(\mathbf{F}\) (l'integrale di destra).
Quindi possiamo parametrizzare la curva \(\gamma\) così (dev'essere percorsa in senso anti orario!):
\[\mathbf{r}(\theta) = \left( \sqrt{3}\cos{\theta},\sqrt{3}\sin{\theta},0\right)^T \quad \theta \in [0,2\pi]\]
E calcolare l'integrale di linea:
\[\oint_\gamma \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} \ \mathrm{d}l = \int_0^{2 \pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\theta)) \cdot \mathbf{r}'(\theta) d\theta\]
che risulta anch'esso \(0\).
[size=120]Alternativa 3[/size]
La terza via è la seguente. Il teorema di Stokes ci dice che il flusso del rotore di un campo attraverso una superficie avente per bordo \(\gamma\) è equivalente alla circuitazione su \(\gamma\) del campo. Siano \(S_1\) ed \(S_2\) due superfici soddisfacenti le ipotesi del teorema di Stokes, allora si avrà:
\[\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \oint_\gamma \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} \ \mathrm{d}l\]
\[\int_{S_2}\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \oint_\gamma \mathbf{F} \cdot \mathbf{t} \ \mathrm{d}l\]
Da cui segue che:
\[\int_{S_1} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma = \int_{S_2} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma\]
Questo significa che per calcolare il nostro flusso possiamo scegliere qualsiasi altra superficie avente per bordo \(\gamma\). La cosa sensata è sceglierne una molto semplice. Possiamo prendere ad esempio proprio il disco \(D\) a cui abbiamo accennato prima. Dobbiamo per prima cosa parametrizzarlo. Ad esempio:
\[\mathbf{r}(\rho,\theta) = \left( \rho \cos{\theta},\rho \sin{\theta},0\right) \quad (\rho,\theta) \in [0,1] \times [0,2 \pi]\]
A questo punto possiamo considerare la superficie \(\Sigma = (D,\mathbf{r})\) e calcolare:
\[\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \ \mathrm{d}\sigma\]
La cosa vantaggiosa è che il versore (non il vettore!) normale sarà semplicemente \[\mathbf{n} = (0,0,1)\] e quindi:
\[\int_0^1 \int_0^{2 \pi} \left(\nabla \times \mathbf{F}(\mathbf{r}(\rho,\theta)) \cdot \mathbf{N}\right) \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta\]
che risulta, come dev'essere nullo.
______________
Spero di averti fornito un quadro completo. Non ho messo i calcoli (che ho fatto) per il semplice fatto che io tento a parametrizzare tutto e non ti saresti trovato troppo con le formule che tu utilizzi. Ad esempio per me il vettore tangente è \(\partial_u \mathbf{r} \times \partial_v \mathbf{r}\) perchè lavoro con superfici parametriche.
Se hai domande chiedi e proverò a risponderti
grazie mille! credo di aver capito
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo