Calcolo del valore medio

[catux1]

Data la funzione $f(x)=arctgsqrt(1+x)$
-Determinare l'insieme di definizione e dire se è integrabile nell'intervallo $[0,3]$;
-Calcolarne l'integrale indefinito;
-Calcolare il valore medio di $f(x)$ in $[0,3]$ e dire se è un valore assunto da g in [0,3].

.l'insieme di definizione è $[-1,+oo[$ . Dal momento che $[0,3]$ $sub$ $[-1,+oo[$ la funzione $f(x)$ è continua anche in tale intervallo, pertanto è integrabile.
.L'integrale è $(x+2)arctg(sqrt(1+x))-sqrt(1+x)$.
.Per quanto riguarda il valore medio, per calcolarlo ho seguito la relazione $vm=1/(b-a)*\int_0^3f(x)dx$ Quindi ho risolto:
$vm=1/3*\int_0^3arctgsqrt(1+x)dx$ $\Rightarrow$ $vm=1/3[(x+2)arctgsqrt(1+x)-sqrt(1+x)]$ (ovviamente il tutto calcolato considerando gli estremi 0 e 3). La mia domanda è: c'è qualche errore in quello che ho fatto? I primi due punti penso di averli fatti correttamente(il 2° sicuramente), sull'ultimo ho qualche dubbio.

[Noisemaker]

i primi due ok, per il terzo hai che il teorema della media integrale, dice che se hai una funzione continua e integrabile delinita in $[a,b]$ a valori reali , esiste un punto $c\in [a,b]:$ tale che
\[f(c)={{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x) dx\]

cioè

\begin{align}f(c)={{1} \over {3}} \int_{0}^{3} \arctan{\sqrt{1+x}} dx&={{1} \over {3}}\left[(x+2)\arctan{\sqrt{1+x}}-\sqrt{1+x}\right]_{0}^{3} dx\\
&= {{1} \over {3}}\left[5\arctan 2-2-\frac{\pi}{2}+1 \right]\sim0.9 \end{align}

[catux1]

Sì anche a me esce così Poi ho aggiunto che, dal momento che $0,9$ $sub$ $[0,3]$, possiamo concludere che tale valore è un valore assunto da $f(x)$. Va bene questa risposta?

[Noisemaker]

e no $0.9\in im f$ non nel dominio.! il teorema ti assicura che esiste un $c\in [0,3]$ talte che $f(c)=0.9$

[catux1]

Allora alla domanda : "Dire se il valore medio di g(x) è un valore assunto da g in $[0, 3]$" , cosa avrei dovuto rispondere?

[Noisemaker]

è un valore assunto dalla funzione?

[catux1]

ah quindi avrei dovuto fare $f(vm)$ ovvero $arctg(sqrt(1+0,9)$ $=1,09$ che essendo $sub$ $[0,3]$ è un valore assunto dalla funzione in $[0,3]$...