Calcolo del valore approssimato di un integrale definito
Buona domenica a tutti.
In un esercitazione a lezione,il professore di analisi 2 ha proposto questo esercizio:
Data la funzione
$f(x)={((sinx)/x, if x!=0),(1, if x=0):}$
calcolare l'integrale
$\int_0^1f(x)dx$
L'esercizio l'ha risolto in aula mediante l'integrazione per serie e alla fine si arriva
$\int_0^1(sinx)/xdx=\sum_{n=0}^\infty ((-1)^n)/((2n+1)!(2n+1)$
Ora,lui dice che se si vuole calcolare un valore approssimato dell'integrale(ad esempio con un errore di $1/100$),basta valutare l'errore
$|\int_0^1(sinx)/xdx-\sum_{k=0}^(n-1) ((-1)^k)/((2k+1)!(2k+1)) | <= 1/((2n+1)!(2n+1)) < 10^-2$
Quindi risolvendo la disequazione $(2n+1)!(2n+1) > 10^-2$ si trova il valore di $n$ tale che mi da un valore approssimato dell'integrale a meno di un errore di $1/100$
Il mio problema è:come si arriva alla condizione
$|\int_0^1(sinx)/xdx-\sum_{k=0}^(n-1) ((-1)^k)/((2k+1)!(2k+1)) | <= 1/((2n+1)!(2n+1)) < 10^-2$ ?
Il professore ha menzionato qualcosa del tipo:"siccome la serie è alternante,allora la differenza tra la serie e la sua ridotta è minore uguale del primo termine che si trascura"
Mi aiutate a comprendere come si arriva a quella condizione?
Grazie
In un esercitazione a lezione,il professore di analisi 2 ha proposto questo esercizio:
Data la funzione
$f(x)={((sinx)/x, if x!=0),(1, if x=0):}$
calcolare l'integrale
$\int_0^1f(x)dx$
L'esercizio l'ha risolto in aula mediante l'integrazione per serie e alla fine si arriva
$\int_0^1(sinx)/xdx=\sum_{n=0}^\infty ((-1)^n)/((2n+1)!(2n+1)$
Ora,lui dice che se si vuole calcolare un valore approssimato dell'integrale(ad esempio con un errore di $1/100$),basta valutare l'errore
$|\int_0^1(sinx)/xdx-\sum_{k=0}^(n-1) ((-1)^k)/((2k+1)!(2k+1)) | <= 1/((2n+1)!(2n+1)) < 10^-2$
Quindi risolvendo la disequazione $(2n+1)!(2n+1) > 10^-2$ si trova il valore di $n$ tale che mi da un valore approssimato dell'integrale a meno di un errore di $1/100$
Il mio problema è:come si arriva alla condizione
$|\int_0^1(sinx)/xdx-\sum_{k=0}^(n-1) ((-1)^k)/((2k+1)!(2k+1)) | <= 1/((2n+1)!(2n+1)) < 10^-2$ ?
Il professore ha menzionato qualcosa del tipo:"siccome la serie è alternante,allora la differenza tra la serie e la sua ridotta è minore uguale del primo termine che si trascura"
Mi aiutate a comprendere come si arriva a quella condizione?
Grazie
Risposte
Teorema di Leibniz, la parte in cui si stima il resto $n$-esimo della serie.
Ti riferisci al teorema
Data la serie a segni alterni $a_1-a_2+a_3+.....+(-1)^n a_n+.....$ se la successione ${a_n}$ è non crescente e infinitesima,allora la serie è convergente.Inoltre,denotate con ${S_n}$ e con $S$ rispettivamente la successione delle somme parziali e la somma della serie,si ha :
$|S_n-S|<= a_(n+1)$ ?
Ma nel mio caso,se il termine ${a_n}=((-1)^n)/((2n+1)!(2n+1)$,il termine ${a_(n+1)}$ è questo $(-1)/((2n+2)!(2n+2)$ ?
Data la serie a segni alterni $a_1-a_2+a_3+.....+(-1)^n a_n+.....$ se la successione ${a_n}$ è non crescente e infinitesima,allora la serie è convergente.Inoltre,denotate con ${S_n}$ e con $S$ rispettivamente la successione delle somme parziali e la somma della serie,si ha :
$|S_n-S|<= a_(n+1)$ ?
Ma nel mio caso,se il termine ${a_n}=((-1)^n)/((2n+1)!(2n+1)$,il termine ${a_(n+1)}$ è questo $(-1)/((2n+2)!(2n+2)$ ?
Infatti nel valore assoluto c'è $S_(n-1)$, non $S_n$, nel tuo caso... Cioè hai $|S-S_(n-1)|<= a_n$.
Ok!Grazie! 
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