Calcolo del residuo di una funzione

[nostradamus19151]

La mia funzione è:
\(\displaystyle \frac{-2(z)logz-\frac{z^2+1}{z}}{(z^2+1)^2log^2(z)} \)
con l'argomento di z che varia nell'intervallo \(\displaystyle ]-\pi , \pi[ \)
devo calcolare il residuo nel punto 1, trasformando il limite ponendo \(\displaystyle z=e^{j \theta} \), facendo tendere \(\displaystyle \theta \) a \(\displaystyle 0 \) e usando de l'hopital mi trovo \(\displaystyle -\frac{1}{2} \) , ma il risultato corretto dovrebbe essere \(\displaystyle 0 \).
Non ho idea di come risolvere il limite e a quanto pare nemmeno wolfram (in questo caso forse perché non posso specificare l'argomento di z). Suggerimenti?

[Studente Anonimo]

Hai studiato il tipo di singolarità? Inoltre, è tassativo procedere calcolando un limite?

[nostradamus19151]

Per studiare il tipo di singolarità dovrei fare lo sviluppo di Laurent, o sbaglio?
Però mi sorge un dubbio, se sostituisco \(\displaystyle z \) con \(\displaystyle e^{i \theta} \) , la singolarità non si sposta nel punto \(\displaystyle 0 \)? In questo caso dovrei moltiplicare tutto per \(\displaystyle (\theta - 0) \) che elevato al quadrato mi elimina la forma indeterminata, il che mi porterebbe alla conclusione che la singolarità è di ordine 2.

[Studente Anonimo]

Sviluppando, è possibile studiare la singolarità e calcolare il residuo contemporaneamente. Viceversa, se si sospetta un polo di ordine due, sarebbe doveroso averne conferma verificando la seguente proprietà:

$[lim_(z->1)[f(z)(z-1)^2]ne0]$

Quindi, calcolare il residuo mediante la seguente formula:

$[(d[f(z)(z-1)^2]]/(dz)]_(z=1)$

Per quanto riguarda le tue considerazioni, stai facendo una confusione terribile.

[nostradamus19151]

In questo caso cosa mi converrebbe fare? Ho calcolato la derivata di \(\displaystyle f(z)(z-1)^2 \) ma viene una roba enorme e non so come procedere.

[Studente Anonimo]

Sarebbe meglio controllare la consegna:

$[f(z)=(-2zlogz-(z^2+1)/z)/((z^2+1)^2log^2z)=(-2z)/((z^2+1)^2logz)-1/(z(z^2+1)log^2z)]$

Per quanto riguarda lo sviluppo del primo termine:

$(-2z)/((z^2+1)^2logz)=$

$=[-2-2(z-1)]/([4+8(z-1)+o(z-1)]*log[1+(z-1)])=$

$=[-2-2(z-1)]/([4+8(z-1)+o(z-1)]*[(z-1)-1/2(z-1)^2+o(z-1)^2])=$

$=[-2-2(z-1)]/(4(z-1)+6(z-1)^2+o(z-1)^2)=$

$=[-2-2(z-1)]/(4(z-1)*[1+3/2(z-1)+o(z-1)])=$

$=[-2-2(z-1)]/(4(z-1))*[1-3/2(z-1)+o(z-1)]=$

$=[-1/2*1/(z-1)-1/2]*[1-3/2(z-1)+o(z-1)]=$

$=-1/2*1/(z-1)+1/4+o(1)$

Per quanto riguarda lo sviluppo del secondo termine:

$-1/(z(z^2+1)log^2z)=$

$=-1/([1+(z-1)]*[2+2(z-1)+o(z-1)^2]*log^2[1+(z-1)])=$

$=-1/([1+(z-1)]*[2+2(z-1)+o(z-1)^2]*[(z-1)-1/2(z-1)^2+o(z-1)^2]^2)=$

$=-1/([2+4(z-1)+o(z-1)^2]*[(z-1)^2-(z-1)^3+o(z-1)^3])=$

$=-1/(2(z-1)^2+2(z-1)^3+o(z-1)^3)=$

$=-1/(2(z-1)^2*[1+(z-1)+o(z-1)])=$

$=-1/(2(z-1)^2)*[1-(z-1)+o(z-1)]=$

$=-1/2*1/(z-1)^2+1/2*1/(z-1)+o(1/(z-1))$

In definitiva:

$(-2z)/((z^2+1)^2logz)-1/(z(z^2+1)log^2z)=-1/2*1/(z-1)^2+o(1/(z-1))$

e il residuo è nullo.

[nostradamus19151]

Ok ho capito il procedimento generale, però non mi sono chiare 2 cose.
1 - Perché in entrambi gli sviluppi a un certo punto porti parte del denominatore al numeratore cambiando di segno il secondo termine?
2 - Dal risultato come fai a dedurre che il residuo è nullo?
Comunque grazie per avermi scritto tutti i passaggi

[Studente Anonimo]

"nostradamus1915":
Dal risultato come fai a dedurre che il residuo è nullo?

Nel primo sviluppo:

$[(-2z)/((z^2+1)^2logz)=-1/2*1/(z-1)+1/4+o(1)]$

il simbolo $o(1)$ rappresenta un infinitesimo almeno di ordine $1$, ossia:

$[a_1(z-1)+a_2(z-1)^2+...]$

Nel secondo sviluppo:

$[-1/(z(z^2+1)log^2z)=-1/2*1/(z-1)^2+1/2*1/(z-1)+o(1/(z-1))]$

il simbolo $o(1/(z-1))$ rappresenta un infinitesimo almeno di ordine $0$, ossia:

$[b_0+b_1(z-1)+...]$

Se si considera la loro somma:

$[-1/2*1/(z-1)+1/4+o(1)-1/2*1/(z-1)^2+1/2*1/(z-1)+o(1/(z-1))]$

si elidono proprio i termini del tipo $[c/(z-1)]$, ergo, il residuo è nullo.

"nostradamus1915":
Perché in entrambi gli sviluppi a un certo punto porti parte del denominatore al numeratore cambiando di segno il secondo termine?

Semplicemente perché, quando $[x rarr 0]$, vale il seguente sviluppo:

$[1/(1-x)=1+x+o(x)]$

"nostradamus1915":
Comunque grazie per avermi scritto tutti i passaggi

Spero ti siano utili.

[nostradamus19151]

Utilissimi
Perdonami sono un po' arrugginito con gli infinitesimi, come fai a determinare l'ordine di un infinitesimo? Ad esempio o(1) non mi dice nulla (resto di 1?)

[Studente Anonimo]

Nel caso in cui gli esponenti siano interi, $o(1)$ è qualcosa che tende a $0$ almeno come $x$. Per esempio, quando $[x rarr 0]$, puoi scrivere $[3+x=3+o(1)]$.