Calcolo del limite con Taylor
Salve ragazzi,ho provato a risolvere il limite seguente utilizzando Taylor ma non sono sicuro del risultato $rarr$ $lim_{x\rightarrow 0^+} (2x*e^(2x^2)-(e^x-e^(-x)))/(x^2log(1-3x))$.
Dopo tutti gli sviluppi(fatti anche con sostituzione) questo è il risultato $rarr$ $lim_{x\rightarrow 0^+} (2x+4x^3+4x^5+\o(x^5)-2x+\o(x^2))/(3x-9/2x+\o(x^4))$
quindi il numerato si annulla e il limite verrebbe $0$,ma in genere questi limiti sono uguali a valori finiti $ne0$,che ne dite?
Grazie in anticipo
Dopo tutti gli sviluppi(fatti anche con sostituzione) questo è il risultato $rarr$ $lim_{x\rightarrow 0^+} (2x+4x^3+4x^5+\o(x^5)-2x+\o(x^2))/(3x-9/2x+\o(x^4))$
quindi il numerato si annulla e il limite verrebbe $0$,ma in genere questi limiti sono uguali a valori finiti $ne0$,che ne dite?
Grazie in anticipo
Risposte
Che non mi torna! Il denominatore è un infinitesimo di ordine 3, con parte principale [tex]$x^2\cdot (-3x)=-3x^3$[/tex] (basta usare il confronto locale). Per il numeratore, invece, deve essere
[tex]$2x e^{2x^2}-(e^x-e^{-x})=2x(1+2x^2)-\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)=2x+4x^3-2x-\frac{x^3}{3}=\frac{11}{3} x^3$[/tex]
(non ho scritto gli "o" piccoli, ma spero siano chiari dal contesto)
[tex]$2x e^{2x^2}-(e^x-e^{-x})=2x(1+2x^2)-\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}-1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\right)=2x+4x^3-2x-\frac{x^3}{3}=\frac{11}{3} x^3$[/tex]
(non ho scritto gli "o" piccoli, ma spero siano chiari dal contesto)
Mi è tutto chiaro tranne una cosa,che intendi per confronto locale?
Ha usato null'altro che $log( 1 - 3x ) sim - 3x$.
Si questo l'avevo notato,in base a cosa si può fare questa approssimazione?nel senso se voglio studiare come applicarla in altri casi simili?sul libro di analisi uno non ho trovato niente di simile.
Grazie ad entrambi comunque
Grazie ad entrambi comunque
"kondor":
Si questo l'avevo notato,in base a cosa si può fare questa approssimazione?nel senso se voglio studiare come applicarla in altri casi simili?sul libro di analisi uno non ho trovato niente di simile.
Grazie ad entrambi comunque
La situazione era favorevole perché a denominatore non ci sono somme. Quindi sarebbe tanto come scrivere:
$lim_{x\rightarrow 0^+} (2x*e^(2x^2)-(e^x-e^(-x)))/(x^2 * ( - 3x )) * (- 3x)/(log(1-3x))$
Giusto.E quindi come faccio a comprendere quando è utile e soprattutto possibile un'approssimazione del genere?voglio dire vedendo il grafico si capisce che in un intorno di $0$ si può approssimare quel logaritmo alla retta,ma se non si conoscono i grafici a mente c'è qualche modo per capirlo o semplicemente l'occhio allenato lo capisce? 
Presta attenzione; guarda che ho usato un semplice limite notevole, eh...
"Seneca":
Presta attenzione; guarda che ho usato un semplice limite notevole, eh...
intendi $lim_{x\rightarrow 0}log(1+x)/x=1$,già,peccato che se non l'avesse detto ciampax non c'avrei mai pensato ad usarlo in questo modo!
Non è una cosa così aliena. Si usa fare durante un calcolo di un limite.
"Seneca":
Non è una cosa così aliena. Si usa fare durante un calcolo di un limite.
No figurati,non mettevo in dubbio Seneca.Grazie ancora ad entrambi
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