Calcolo del limite con Taylor
$((1+sen^2(x))^(1/x) - e^(senx))/x^3$
Il risultato dovrebbe essere $-2/3$ , ma a me viene $-1/6$
Ecco come procedo:
$((1+(x-(x^3)/6)^2)^(1/x) -(1 + senx))/x^3$
$((1+x^2+x^6/6-x^4/3)^(1/x) -1-x+x^3/6)/x^3$
$(1+1/x*(x^2+x^6/6-x^4/3) -1-x+x^3/6)/x^3$
$(1+x+x^5/6-x^3/3 -1-x+x^3/6)/x^3 = -1/6$
Uff ragazzi, dove sbaglio?
Il risultato dovrebbe essere $-2/3$ , ma a me viene $-1/6$
Ecco come procedo:
$((1+(x-(x^3)/6)^2)^(1/x) -(1 + senx))/x^3$
$((1+x^2+x^6/6-x^4/3)^(1/x) -1-x+x^3/6)/x^3$
$(1+1/x*(x^2+x^6/6-x^4/3) -1-x+x^3/6)/x^3$
$(1+x+x^5/6-x^3/3 -1-x+x^3/6)/x^3 = -1/6$
Uff ragazzi, dove sbaglio?
Risposte
"TheAnswer93":
$((1+sen^2(x))^(1/x) - e^(senx))/x^3$
Devi cominciare col fatto che $(1+sen^2(x))^(1/x) = e^(1/x log(1+sen^2x))$
poi prova ad andare avanti..
Quindi è sbagliato trattarlo come un $(1+x)^Y$ ovvero un basilare sviluppo di taylor?
come ti ha suggerito Quinzio, devi considerare prima il limite in forma esponenziale
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{e^{\frac{1}{x}\ln(1+\sin^2 x)}-e^{\sin x}}{x^3}
\end{align*}
quello che mi sembra abbia voluto fare tu non lo puoi fare, perchè $(1+x)^{\beta}$ lo puoi sviluppare se $\beta\in \RR$, cioè se è un numero, e non se $\beta=\frac{1}{x}$ cioè una funzione...
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{e^{\frac{1}{x}\ln(1+\sin^2 x)}-e^{\sin x}}{x^3}
\end{align*}
quello che mi sembra abbia voluto fare tu non lo puoi fare, perchè $(1+x)^{\beta}$ lo puoi sviluppare se $\beta\in \RR$, cioè se è un numero, e non se $\beta=\frac{1}{x}$ cioè una funzione...
"Noisemaker":
come ti ha suggerito Quinzio, devi considerare prima il limite in forma esponenziale
\begin{align*}
\lim_{x\to 0} \frac{e^{\frac{1}{x}\ln(1+\sin^2 x)}-e^{\sin x}}{x^3}
\end{align*}
quello che mi sembra abbia voluto fare tu non lo puoi fare, perchè $(1+x)^{\beta}$ lo puoi sviluppare se $\beta\in \RR$, cioè se è un numero, e non se $\beta=\frac{1}{x}$ cioè una funzione...
Infatti, mi sono informato ed è come dici tu. Però purtroppo mi sto esaurendo con questo limite; facendo come mi avete consigliato mi viene sempre $-1/6$. Appena avete un pò di tempo potreste controllare qual è il vostro risultato, non vorrei avesse sbagliato il libro a darmi la soluzione!
Il risultato del libro è effettivamente giusto 
[size=115]$lim_(x->0) (e^(log(1+sin^2(x))/x) -e^sin(x) )/x^3$
$lim_(x->0) (e^(x-2/6x^3+o(x^3))-e^(x-x^3/6+o(x^3)))/x^3$
[/size]
Da qui dovresti concludere
[size=115]$lim_(x->0) (e^(log(1+sin^2(x))/x) -e^sin(x) )/x^3$
$lim_(x->0) (e^(x-2/6x^3+o(x^3))-e^(x-x^3/6+o(x^3)))/x^3$
[/size]
Da qui dovresti concludere
$sinx=x-x^3/6$
$sin^2x=x^2-1/3x^4$
$log(1+sin^2x)=x^2-1/3x^4-1/2x^4=x^2-5/6x^4$
$1/x log(1+sin^2x)=x-5/6x^3$
$e^(1/x log(1+sin^2x))=1+x-5/6x^3+1/2x^2$
$e^(sinx)=1+x-1/6x^3+1/2x^2$
$e^(1/x log(1+sin^2x))-e^(sinx)= -2/3x^3$
$(e^(1/x log(1+sin^2x))-e^(sinx))/x^3= -2/3$
$sin^2x=x^2-1/3x^4$
$log(1+sin^2x)=x^2-1/3x^4-1/2x^4=x^2-5/6x^4$
$1/x log(1+sin^2x)=x-5/6x^3$
$e^(1/x log(1+sin^2x))=1+x-5/6x^3+1/2x^2$
$e^(sinx)=1+x-1/6x^3+1/2x^2$
$e^(1/x log(1+sin^2x))-e^(sinx)= -2/3x^3$
$(e^(1/x log(1+sin^2x))-e^(sinx))/x^3= -2/3$
Per non riaprire un nuovo topic dato che è una singola domanda, volevo chiedere perchè nello sviluppo delle formule di MacLaurin la tangente non si estende ad n. Ho trovato sul formulario di Math.it questa forma di tgx:
$tgx =x + 1/3 x^3 + 2/15 x^5 + o ( x^6)$
$tgx =x + 1/3 x^3 + 2/15 x^5 + o ( x^6)$
In realtà lo sviluppo della tangente non è "notevole"; un modo per ricavarsi lo sviluppo della tangente è considerare lo sviluppo in serie della funzione:
\begin{align*}
-\ln \cos x =\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{12}+\frac{x^6}{45}+\frac{17}{2520}x^8+\frac{31}{14175}x^{10}+o(x^{10})
\end{align*}
e derivando membro a membro otteniamo (questo processo è possibile grazie al teorema di derivazione delle serie di potenze)
\begin{align*}
\tan x =x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+ \frac{62}{2835}x^9+o(x^9)
\end{align*}
\begin{align*}
-\ln \cos x =\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{12}+\frac{x^6}{45}+\frac{17}{2520}x^8+\frac{31}{14175}x^{10}+o(x^{10})
\end{align*}
e derivando membro a membro otteniamo (questo processo è possibile grazie al teorema di derivazione delle serie di potenze)
\begin{align*}
\tan x =x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+ \frac{62}{2835}x^9+o(x^9)
\end{align*}
Ah ok, grazie. Ho un problema con un esercizio con Taylor, scrivo qui o apro un topic a parte ?
scrivi qui
Allora, sempre applicazione di Taylor.. Ho:
$((senx)^2 -x^2)/((arctgx)^2 - (log(1+x))^2)$
Applico Taylor usando le formule notevoli di McLaurin, fermandomi sempre al 2° grado:
$((x - x^3/3! +o(x^4))^2 -x^2)/((x - x^3/3 + o(x^6))^2 - (x - x^2/2 + o(x^2))^2)$
Ora ho dei quadrati di trinomi. La formula del quadrato di trinomio è $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
Il problema è ora, sia nel fatto che non sono sicuro di aver usato bene l'infinitesimo sia nel passaggio successivo, quando devo capire cosa prendere del risultato del quadrato. A me viene:
$x^2 + X^6/36 + o(x^8) + 2xo(x^4) - x^4/3 - x^3/3 o(x^4)$
Ora, quali di questi valori devo prendere?
$((senx)^2 -x^2)/((arctgx)^2 - (log(1+x))^2)$
Applico Taylor usando le formule notevoli di McLaurin, fermandomi sempre al 2° grado:
$((x - x^3/3! +o(x^4))^2 -x^2)/((x - x^3/3 + o(x^6))^2 - (x - x^2/2 + o(x^2))^2)$
Ora ho dei quadrati di trinomi. La formula del quadrato di trinomio è $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
Il problema è ora, sia nel fatto che non sono sicuro di aver usato bene l'infinitesimo sia nel passaggio successivo, quando devo capire cosa prendere del risultato del quadrato. A me viene:
$x^2 + X^6/36 + o(x^8) + 2xo(x^4) - x^4/3 - x^3/3 o(x^4)$
Ora, quali di questi valori devo prendere?
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