Calcolo del limite

[previ91]

Ciao a tutti ,

devo calcolare il seguente limite : $lim_((x,y)->(0,0)) log(1+xy) (x^3 -y^3)/(x^2 +y^2)^2$.

Nell'esame l'ho calcolato ma devo aver fatto molte stupidate visto che ho preso pochi punti.
Comunque , valutando le restrizioni $f(0,y)$ e $f(x,0)$ il limite è identicamente uguale a zero quindi o vale zero o non esiste.

Allora per capirlo sono passato in coordinate polari ottenendo :

$log(1+rho^2 |cos theta ||sin theta|)(|rho^3||cos^3 theta|-|rho^3||sin^3 theta|)/(rho^4)$. Da quì devo aver fatto una serie di passaggi folli eliminando tutti i cos e i sin maggiorandoli con 1..credo non si possa.

Potete darmi una mano , se fin qui è giusto ?

Grazie

[totissimus]

Ricordiamo che \( log(1+x) \leq |x|)\) quindi:

\(\left| log(1+xy) \frac{x^3+y^3}{(x^2-y^2)^2}\right|\leq \left | xy\right|\frac{|x|^3+|y|^3}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^4|y|+y^4|x|}{(x^2+y^2)^2}\leq \frac{(x^2+y^2)^2(|x|+|y|)}{(x^2+y^2)^2}=|x|+|y|\) da cui la conclusione.

[ludwigZero]

forse sono io che non ho compreso bene i passaggi di totissimus, io avrei fatto così:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$
$log (1 + xy) <= |xy|$

quindi $|xy| (x - y)(x^2 + xy + y^2)/(x^2 +y^2)^2 <= |xy| ((x - y) (x^2 +y^2)^2)/(x^2 +y^2)^2$ da cui ottengo
$|xy| (x - y) = x^2 |y| - y^2 |x| -> 0$

ditemi se è secondo voi è ok!