Calcolo del limite
Salve a tutti,
ho degli esercizi da fare la cui traccia dice:
*Utilizzare i teoremi sui limiti (operazioni, confronto, convergenza obbligata) e opportune manipolazioni algebriche per calcolare i limiti delle seguenti successioni.
Io ho provato a fare questa: $(n*logn)/(n+2)$
Ho pensato che si può riscrivere anche con $1/(n+2) * n*logn$
Ma $$1/(n+2)$ tende a $0$;
Ora però la funzione logaritmo nel primo quadrante tende a $+oo$ mentre nel quadrante di sotto tende a $-oo$ quindi che facciamo? distinguiamo i due casi?
Dove tende a $-oo$ per l'altra funzione che tende a $0$ per $n$ dovremmo avere $-oo$?
Mentre dove tende a $+oo$ abbiamo che tende a $+oo$ o come?
Diciamo che qui mi perdo un attimo.
ho degli esercizi da fare la cui traccia dice:
*Utilizzare i teoremi sui limiti (operazioni, confronto, convergenza obbligata) e opportune manipolazioni algebriche per calcolare i limiti delle seguenti successioni.
Io ho provato a fare questa: $(n*logn)/(n+2)$
Ho pensato che si può riscrivere anche con $1/(n+2) * n*logn$
Ma $$1/(n+2)$ tende a $0$;
Ora però la funzione logaritmo nel primo quadrante tende a $+oo$ mentre nel quadrante di sotto tende a $-oo$ quindi che facciamo? distinguiamo i due casi?
Dove tende a $-oo$ per l'altra funzione che tende a $0$ per $n$ dovremmo avere $-oo$?
Mentre dove tende a $+oo$ abbiamo che tende a $+oo$ o come?
Diciamo che qui mi perdo un attimo.
Risposte
"Neptune":
Ora però la funzione logaritmo nel primo quadrante tende a $+oo$ mentre nel quadrante di sotto tende a $-oo$ quindi che facciamo? distinguiamo i due casi?
Dove tende a $-oo$ per l'altra funzione che tende a $0$ per $n$ dovremmo avere $-oo$?
Mentre dove tende a $+oo$ abbiamo che tende a $+oo$ o come?
Non è molto chiaro cosa intendi !
Comunque, si vuole calcolare $lim_(n->+oo)(nlogn)/(n+2)$.
Puoi riscrivere il limite in questo modo se ti è più comodo: $lim_(n->+oo)n/(n+2)*logn$.
e a quel punto $n/(n+2)$ tende comunque a zero, ma $logn$ ? Non tende sia a $+oo$ in un quadrante e a $-oo$ nell'altro?
Niente ho visto il grafico di derive e pare che scenda per un pò la curva poi però inizia a salire sempre, quindi tende a $+oo$
Quello che mi turba è il logaritmo, a cosa tende il logaritmo?
Quello che mi turba è il logaritmo, a cosa tende il logaritmo?
Sei sicuro che $n/(n+2)$ tenda a zero quando $n->+oo$?
Se hai in testa il grafico della funzione $y=logx$, direttamente da lì puoi vedere l'andamento per $x->+oo$.
Ecco il grafico della funzione logaritmo:
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("ln(x)");[/asvg]
Se hai in testa il grafico della funzione $y=logx$, direttamente da lì puoi vedere l'andamento per $x->+oo$.
Ecco il grafico della funzione logaritmo:
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("ln(x)");[/asvg]
Ho provato a disegnare il grafico per $n/(n+2)$ e ci sono due linee, una nel secondo quadrante che arriva a 8 e si ferma, una nel prima quadrante che invece sembra tendere a 1, ma sinceramente non me lo so spiegare.
Come faccio ad inserirlo anch'io un grafico nel forum?
Come faccio ad inserirlo anch'io un grafico nel forum?
Giusto $n/n+2$ tende ovviamente ad 1 perchè man mano che l'n diventa piu grande quella differenza di $2$ diciamo che diventa piu irrisoria.
Quindi quella tende ad 1, mentre $logn$ tende a $+oo$ e quindi anche il prodotto tende a $+oo$ ?
Quindi quella tende ad 1, mentre $logn$ tende a $+oo$ e quindi anche il prodotto tende a $+oo$ ?
Questo è un esempio di codice per inserire un grafico.Quando scrivi un messaggio devi prima cliccare su "Asvg".Successivamente inserisci il codice.
axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("sin(x)"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("x^2-2"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2
.
Ora il limite è corretto, il punto era osservare che $n/(n+2)$ tende a 1 per $n->+oo$.
Diciamo che il $+2$ a denominatore era trascurabile, quindi era lecito scrivere che
$lim_(n->+oo)n/(n+2)logn=lim_(n->+oo)(n/n*logn)=lim_(n->+oo)logn=+oo$.
axes(); // visualizza gli assi
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("sin(x)"); // disegna la funzione seno
stroke="green"; // seleziona il colore verde
plot("x^2-2"); // disegna la conica d'equazione y = x^2 - 2
.
Ora il limite è corretto, il punto era osservare che $n/(n+2)$ tende a 1 per $n->+oo$.
Diciamo che il $+2$ a denominatore era trascurabile, quindi era lecito scrivere che
$lim_(n->+oo)n/(n+2)logn=lim_(n->+oo)(n/n*logn)=lim_(n->+oo)logn=+oo$.
Ho appena scritto questo nel codice:
axes();
stroke="red";
plot("(n/(n+2))*ln(n)");
ma a quel che sembra non disegna nulla.
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("(x/(x+2))*ln(x)");[/asvg]
Comunque notare che $n/(n+2)$ temde a $1$ si può fare solo ad occhio o c'è un modo per calcolarselo in modo da prevenire sviste?
axes();
stroke="red";
plot("(n/(n+2))*ln(n)");
ma a quel che sembra non disegna nulla.
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("(x/(x+2))*ln(x)");[/asvg]
Comunque notare che $n/(n+2)$ temde a $1$ si può fare solo ad occhio o c'è un modo per calcolarselo in modo da prevenire sviste?
"Neptune":
Comunque notare che $n/(n+2)$ temde a $1$ si può fare solo ad occhio o c'è un modo per calcolarselo in modo da prevenire sviste?
$lim_{n} n/(n+2) = lim_{n} (n+2)/(n+2) - 2/n = lim_{n} 1 -0 = 1$
Penso che tu debba indicare con "x" e non con "n" la variabile indipendente per disegnare la funzione.
Con questo codice tracci il grafico di una funzione, non so come disegnare i punti di una successione
Con questo codice tracci il grafico di una funzione, non so come disegnare i punti di una successione
Ora stavo calcolando il limite di questa:
$(n^2*cos^2n)/(n^5+3)$
Inanzi tutto sto cercando di analizzarle singolarmente, ovvero:
Le potenze ad esponente pari so dal grafico che tendono a $+oo$;
Le potenze dispari anche tendono a $+oo$;
3 è semplicemente una costante;
Riguardo a coseno, se la prendessimo singolarmente essendo una funzione periodica avrebbe limite? se si quale?
Noi comunque ne dobbiamo fare il quadrato ovvero fare la composta di coseno e di potenza. Il coseno se non erro ha valori da $-1$ ad $1$ e quindi dobbiamo esaminare il grafico della potenza per l'intervallo $[-1,1]$ ? quindi in realtà tenderà ad 1?
A questo punto abbiamo $+oo$ per $1$ che fa $+oo$ al numeratore;
Al denominatore abbiamo $+oo$ più una costante e quindi abbiamo $+oo$
A questo punto il rapporto tra $+oo$ e $+oo$ che da? oppure sto arrivando ad una conclusione sbagliata?
$(n^2*cos^2n)/(n^5+3)$
Inanzi tutto sto cercando di analizzarle singolarmente, ovvero:
Le potenze ad esponente pari so dal grafico che tendono a $+oo$;
Le potenze dispari anche tendono a $+oo$;
3 è semplicemente una costante;
Riguardo a coseno, se la prendessimo singolarmente essendo una funzione periodica avrebbe limite? se si quale?
Noi comunque ne dobbiamo fare il quadrato ovvero fare la composta di coseno e di potenza. Il coseno se non erro ha valori da $-1$ ad $1$ e quindi dobbiamo esaminare il grafico della potenza per l'intervallo $[-1,1]$ ? quindi in realtà tenderà ad 1?
A questo punto abbiamo $+oo$ per $1$ che fa $+oo$ al numeratore;
Al denominatore abbiamo $+oo$ più una costante e quindi abbiamo $+oo$
A questo punto il rapporto tra $+oo$ e $+oo$ che da? oppure sto arrivando ad una conclusione sbagliata?
"Relegal":
Penso che tu debba indicare con "x" e non con "n" la variabile indipendente per disegnare la funzione.
Con questo codice tracci il grafico di una funzione, non so come disegnare i punti di una successione
Giusto non ci avevo pensato.
Comunque con il programmino che ti disegna il grafico è tutta un'altra cosa (ad esempio sul pc ho derive) però voglio arrivarci ad occhio, poi magari guardare solo alla fine derive per conferma.
Di questa succesisone: $(n^2*cos^2n)/(n^5+3)$ il grafico è questo
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("(x^2*(cos(x))^2)/(x^5+3)");[/asvg]
Ed il calcolo che mi sono fatto, per dire che tende a $0$ è il segunete:
$(n^2*cos^2n)/(n^5+3)$ è scomponibile in $n^2/(n^5+3)* (cos^2n)/(n^5+3)$ che posso scomporre ancora in $n^2/n^5 * 1/3 * (cos^2n)/(n^5+3)$ che diventa infine $1/n^3 * 1/3 * (cos^2n)/(n^5+3)$
A questo punto mi calcolo i quattro rapporti singolarmente e poi mi faccio il prodotto.
Quindi $1/n^3$ tenderà sicuramente a $0$;
$1/3$ è una costante$
$(cos^2n)/(n^5+3)$ possiamo dire che il quadrato del coseno tenderà ad 1, visto che il coseno oscilla nell'intervallo chiuso $[-1,-1]$ mentre $n^5$ tende a $+oo$ e continuerà a tendere a $+oo$ anche con l'aggiunta della costante. $1/+oo$ sappiamo che da come limite $0$.
A questo punto abbiamo da calcolare $0$ per $1/3$ per $0$ e quindi il limite della nostra funzione, svolgendo i prodotti, sarà proprio $0$.
Ho detto bene?
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("(x^2*(cos(x))^2)/(x^5+3)");[/asvg]
Ed il calcolo che mi sono fatto, per dire che tende a $0$ è il segunete:
$(n^2*cos^2n)/(n^5+3)$ è scomponibile in $n^2/(n^5+3)* (cos^2n)/(n^5+3)$ che posso scomporre ancora in $n^2/n^5 * 1/3 * (cos^2n)/(n^5+3)$ che diventa infine $1/n^3 * 1/3 * (cos^2n)/(n^5+3)$
A questo punto mi calcolo i quattro rapporti singolarmente e poi mi faccio il prodotto.
Quindi $1/n^3$ tenderà sicuramente a $0$;
$1/3$ è una costante$
$(cos^2n)/(n^5+3)$ possiamo dire che il quadrato del coseno tenderà ad 1, visto che il coseno oscilla nell'intervallo chiuso $[-1,-1]$ mentre $n^5$ tende a $+oo$ e continuerà a tendere a $+oo$ anche con l'aggiunta della costante. $1/+oo$ sappiamo che da come limite $0$.
A questo punto abbiamo da calcolare $0$ per $1/3$ per $0$ e quindi il limite della nostra funzione, svolgendo i prodotti, sarà proprio $0$.
Ho detto bene?
"Neptune":
$(n^2*cos^2n)/(n^5+3)$ è scomponibile in $n^2/(n^5+3)* (cos^2n)/(n^5+3)$ che posso scomporre ancora in $n^2/n^5 * 1/3 * (cos^2n)/(n^5+3)$ che diventa infine $1/n^3 * 1/3 * (cos^2n)/(n^5+3)$
Neptune scusa ma queste uguaglianze da dove saltano fuori?
sono parecchio sbagliate, insomma, da quando $1/(a+b)=1/a*1/b$ ??
oppure $(a*b)/c=a/c*b/c$ ??
"blackbishop13":
[quote="Neptune"]
$(n^2*cos^2n)/(n^5+3)$ è scomponibile in $n^2/(n^5+3)* (cos^2n)/(n^5+3)$ che posso scomporre ancora in $n^2/n^5 * 1/3 * (cos^2n)/(n^5+3)$ che diventa infine $1/n^3 * 1/3 * (cos^2n)/(n^5+3)$
Neptune scusa ma queste uguaglianze da dove saltano fuori?
sono parecchio sbagliate, insomma, da quando $1/(a+b)=1/a*1/b$ ??
oppure $(a*b)/c=a/c*b/c$ ??[/quote]
E' vero ho fatto degli errori di calcolo assurdi.
Come potrei scomporla invece in maniera corretta?
Per altro mi è stato scritto, a parte che ho sbagliato a fare i calcoli, cito testuali parole:
"cos^2 n non tende a 1.Oscilla tra 0 e 1, ma non ha limite.E' pero' una successione limitata, il che le permette ugualmente di concludere che dividendo per una successione divergente otterra' una successione infinitesima."
Questa regola però sul libro e sugli appunti non riesco a ritrovarla, se la conoscete potreste dirmi bene l'enunciato e magari regole affini riguardanti appunti le successioni limitate ed i limiti riguardo ad eventuali composizioni?
"cos^2 n non tende a 1.Oscilla tra 0 e 1, ma non ha limite.E' pero' una successione limitata, il che le permette ugualmente di concludere che dividendo per una successione divergente otterra' una successione infinitesima."
Questa regola però sul libro e sugli appunti non riesco a ritrovarla, se la conoscete potreste dirmi bene l'enunciato e magari regole affini riguardanti appunti le successioni limitate ed i limiti riguardo ad eventuali composizioni?
Errori di calcolo assurdi è dire poco...
$ lim_{n} \frac {n^2 \cdot (\cos n)^2} { n^5 +3 } \approx lim_{n} (cos n )^2/n^3 <= lim_{n} 1/n^3 = 0$
$ lim_{n} \frac {n^2 \cdot (\cos n)^2} { n^5 +3 } \approx lim_{n} (cos n )^2/n^3 <= lim_{n} 1/n^3 = 0$
anche senza approssimare niente, puoi trovare subito una maggiorazione efficace:
prima cosa hai
$(n^2*cos^2n)/(n^5+3)>0$ per $n$ abbastanza grande, basta ad esempio $n>0$.
secondo, da un certo punto in poi si avrà $(n^2*cos^2n)/(n^5+3)<(n^3)/(n^5+3)$, ad esempio per $n>1$
ovviamente si sta sfruttando che $cos^2(n)<=1
quindi il limite per $n to + infty$ della nostra funzione è maggiora o uguale a $0$ e minore del limite per $n to +infty$ di $(n^3)/(n^5+3)$, che è proprio 0.
et voilà !
prima cosa hai
$(n^2*cos^2n)/(n^5+3)>0$ per $n$ abbastanza grande, basta ad esempio $n>0$.
secondo, da un certo punto in poi si avrà $(n^2*cos^2n)/(n^5+3)<(n^3)/(n^5+3)$, ad esempio per $n>1$
ovviamente si sta sfruttando che $cos^2(n)<=1
quindi il limite per $n to + infty$ della nostra funzione è maggiora o uguale a $0$ e minore del limite per $n to +infty$ di $(n^3)/(n^5+3)$, che è proprio 0.
et voilà !
E' un errore se io calcolo direttamente il limite per $n->+oo$ di $1/n^3$?
Perchè ad occhio avrei fatto cosi, senza troppi passaggi.
Grazie.
Perchè ad occhio avrei fatto cosi, senza troppi passaggi.
Grazie.
no, per n infinitamente grande puoi considerare una funzione che approssima quella data. Spesso il limite risulta molto immediato, come hai visto così facendo io il limite l'ho risolto tramite un'approssimazione ( neanche tanto ardita ) ed una maggiorazione.
In pratica:
$\lim_{n} n^2/(n^5+3) = \lim_{n} \frac {n^2 \cdot (1)} {n^2 \cdot (n^3 + 3/n^2) } = \lim_{n} 1/(n^3 + 3/n^2) = lim_{n} 1/n^3 $
Poi il coseno è una funzione limitata ( $ |cosx| < 1 \forall x \in \R $ ) e da ciò segue la maggiorazione.
In fondo blackbishop ha eseguito esattamente lo stesso procedimento, effettuando prima la maggiorazione e poi risolvendo "a occhio" il secondo limite.
In pratica:
$\lim_{n} n^2/(n^5+3) = \lim_{n} \frac {n^2 \cdot (1)} {n^2 \cdot (n^3 + 3/n^2) } = \lim_{n} 1/(n^3 + 3/n^2) = lim_{n} 1/n^3 $
Poi il coseno è una funzione limitata ( $ |cosx| < 1 \forall x \in \R $ ) e da ciò segue la maggiorazione.
In fondo blackbishop ha eseguito esattamente lo stesso procedimento, effettuando prima la maggiorazione e poi risolvendo "a occhio" il secondo limite.
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