Calcolo del limite!

[moreno88]

come si calcola il limite

lim (sinx/x) elevato 2/x^2
x->o

[Sk_Anonymous]

allora penso che si risolva in questo modo, se poi sbaglio prego gl ialtri di correggermi grazie
quel limite lo puoi scrivere anche come
e^[(1/x^2)log(sin^2 x/x^2)]
il limite di x->0 di log(sin^2 x/x^2)/x^2=+oo perchè il numeratore tende a 0 più lentamente del numeratore perchè il denominatore è un infinitesimo di ordine 2 mentre il numeratore è un infinitesimo di ordine <2 e quindi il limite tende a +oo, poi tornando al limite di partenza hai e^+oo che vale +oo

[moreno88]

io pure l'ho risolto cosi ma mi sebrava un po strano!cmq grazie almeno cè qualcuno che hja ragionato allo stessso modo mio!

[n.icola114]

se il $lim_(x rarr 0) (sin(x)/x)^(2/x^2)$
a me viene $e^(-1/3)$ però magari sono io a sbagliare

[moreno88]

il limite è quello...come lo hai risolto?

[gugo82]

"moreno88":come si calcola il limite

lim (sinx/x) elevato 2/x^2
x->o

Sarebbe $lim_(xto 0)(sinx/x)^(2/x^2)$?


Ricordiamo che $lim_(y to 0) (1+y)^(1/y)=e$ si può trasformare con la sostituzione $z=1+y$ in:

(*) $quad lim_(z to 1)z^(1/(z-1))=e quad$;

visto che $sinx/x to 1$ quando $xto 0$ possiamo pensare di applicare il limite (*) con $z=sinx/x$: scriviamo perciò:

$lim_(xto 0)(sinx/x)^(2/x^2)=lim_(xto 0)[(sinx/x)^(1/(sinx/x-1))]^((sinx/x-1)*2/x^2)quad$.

Il termine tra le parentesi quadre tende, per (*), ad $e$; rimane da guardare il comportamento dell'esponente, quindi dobbiamo risolvere il $lim_(x to 0)(sinx/x-1)*2/x^2$: abbiamo:

$lim_(x to 0)(sinx/x-1)*2/x^2=lim_(x to 0)2*((sinx/x-1))/x^2=lim_(x to 0)2*(sinx-x)/x^3$

che è nella forma indeterminata $0/0$. Applicando il teorema di de l'Hopital all'ultimo membro della precedente catena d'uguaglianze troviamo:

$lim_(x to 0)(sinx/x-1)*2/x^2\stackrel{H}{=}lim_(x to 0)2*(cosx-1)/(3x^2)=2*1/3*(-1/2)=-1/3$

(abbiamo tenuto presente il limite notevole $lim_(y to 0)(1-cosy)/y^2=1/2$).
Mettendo insieme i due risultati otteniamo:

$lim_(xto 0)(sinx/x)^(2/x^2)=lim_(xto 0)[(sinx/x)^(1/(sinx/x-1))]^((sinx/x-1)*2/x^2)quad=e^(-1/3)$.

[Sk_Anonymous]

io direi:

$lim_(x->0)((sinx)/x)^(2/x^2)=lim_(x->0)e^(2/x^2ln((sinx)/x))=lim_(x->0)e^(2/x^2ln((x-1/6x^3+o(x^4))/x))=lim_(x->0)e^(2/x^2ln(1-1/6x^2+o(x^3)))=
$lim_(x->0)e^(-1/3+o(x))=e^(-1/3)

[moreno88]

ok vado per lultimo!visto che oggi ho iniziato a usare gli sviluppi!grazie tante!

[gugo82]

Puoi usare lo sviluppo di Taylor pure col metodo che ho segnalato prima.

Invece di risolvere $lim_(xto 0)1/x^2*((sinx)/x-1)$ con il teorema di de l'Hopital puoi fare così:

$lim_(xto 0)1/x^2*((sinx)/x-1)=lim_(xto 0)1/x^2*((x-1/3x^3+o(x^5))/x-1)=lim_(xto 0)1/x^2*(1-1/3x^2+o(x^4)-1)=lim_(xto 0)1/x^2*(-1/3x^2+o(x^4))=-1/3$

in modo da doverti ricordare solo lo sviluppo in serie del $sinx$.

Semplice, no?