Calcolo del limite

[Julia.921]

Ciao a tutti,
devo sostenere l'esame di analisi 1 tra i quiz proposti dal prof ho trovato questo limite:
$lim_(x -> +oo) ((4x-1)/sin(x))(sin(1/x))$ la cui risposta è non esiste limite...
non riesco a capirne il motivo , io ho provato a calcolarlo e il risultato che ho trovato è 0...
ho considerato il limite come prodotto di limiti ossia
limite per x tendente a più infinito di $lim_(x -> +oo) ((4x-1)/sin(x)) * lim_(x -> +oo) (sin(1/x)) $
il primo l'ho risolto utilizzando i simboli di Landau e quindi mi viene 4x/x+o(x) che mi da 4, il secondo limite invece vale 0...
0*4 mi da zero...ma la risposta è non esiste...
non capisco dove sbaglio
grazie per l'aiuto !
giù

[Seneca1]

Ciao Julia. Ho scritto per bene le formule nel tuo post.

L'errore è nell'approssimazione di $sin(x)$ con $x + o(x)$. Infatti non lavori in un intorno dell'origine ma in un intorno di $+oo$ ($x -> +oo$). Quell'approssimazione puoi usarla per $sin(1/x)$: $sin(1/x) = 1/x + o(1/x)$.

Ti è chiaro il perché?

[Julia.921]

grazie mille!
essendo nuova del forum devo ancora acquisire dimestichezza ....
ho capito , ho sbagliato ad approssimare il senx con landau perchè x tende a più infinito...e allora il fatto che il limite non esiste è dovuto al seno al denominatore del primo limite che oscilla fra -1 e 1 ?

[Seneca1]

Esatto... Non tanto per l'oscillare tra $-1$ e $1$, quanto perché assume il valore $0$ in ogni intorno di infinito (ciò deriva dal carattere oscillatorio, in effetti).