Calcolo del lavoro di F lungo la frontiera di D

[-Chic-1]

Non riesco a risolvere questo esercizio, qualcuno potrebbe aiutarmi?

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[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[-Chic-1]

"TeM":Ciao -Chic-, innanzitutto ben iscritto/a.

Dunque, dati un campo vettoriale \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) definito da \[ \mathbf{F}(x,\,y) := \left( x^2-2\,y, \; x+y^2 \right) \] e un insieme \[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + \frac{y^2}{4} \le 1, \; x \ge 0 \right\} \] il cui bordo \(\partial D\) è dato dall'unione degli archi di curva di sostegno \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) e di parametrizzazione: \[ \begin{aligned} & (x,\,y) := \mathbf{r}_1(t) = \dots\,, \; \; \; \text{per} \; t \in \dots \,; \\ & (x,\,y) := \mathbf{r}_2(t) = \dots, \; \; \; \text{per} \; t \in \dots \,; \end{aligned} \] per definizione, il lavoro \(ℒ\) di \(\mathbf{F}\) lungo \(\partial D^+\) è pari a
\[ ℒ_{\partial D^+}(\mathbf{F}) := \int_{\partial D^+} \mathbf{F} \cdot \text{d}\mathbf{r} = \int_{\gamma_1^+} \mathbf{F}(\mathbf{r}_1(t)) \cdot \mathbf{r}_1'(t)\,\text{d}t + \int_{\gamma_2^+} \mathbf{F}(\mathbf{r}_2'(t)) \cdot \mathbf{r}_2(t)\,\text{d}t = \dots \] dove l'orientazione positiva del bordo \(\partial D\) si ottiene percorrendolo tenendo sempre \( D\) alla propria sinistra.

In alternativa, applicando il teorema di Gauss-Green, si ha \[ ℒ_{\partial D^+}(\mathbf{F}) \overset{\text{th}}{=} \iint_D \left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\dots\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\dots\right)\right]\text{d}x\,\text{d}y = \dots \] A te procedere.

Grazie per il benvenuto e per l'aiuto che mi hai dato

[-Chic-1]

"TeM":Ciao -Chic-, innanzitutto ben iscritto/a.

Dunque, dati un campo vettoriale \( \mathbf{F} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) definito da \[ \mathbf{F}(x,\,y) := \left( x^2-2\,y, \; x+y^2 \right) \] e un insieme \[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + \frac{y^2}{4} \le 1, \; x \ge 0 \right\} \] il cui bordo \( \partial D \) è dato dall'unione degli archi di curva di sostegno \( \gamma_1 \), \( \gamma_2 \) e di parametrizzazione: \[ \begin{aligned} & (x,\,y) := \mathbf{r}_1(t) = \dots\,, \; \; \; \text{per} \; t \in \dots \,; \\ & (x,\,y) := \mathbf{r}_2(t) = \dots, \; \; \; \text{per} \; t \in \dots \,; \end{aligned} \] per definizione, il lavoro \( ℒ \) di \( \mathbf{F} \) lungo \( \partial D^+ \) è pari a
\[ ℒ_{\partial D^+}(\mathbf{F}) := \int_{\partial D^+} \mathbf{F} \cdot \text{d}\mathbf{r} = \int_{\gamma_1^+} \mathbf{F}(\mathbf{r}_1(t)) \cdot \mathbf{r}_1'(t)\,\text{d}t + \int_{\gamma_2^+} \mathbf{F}(\mathbf{r}_2'(t)) \cdot \mathbf{r}_2(t)\,\text{d}t = \dots \] dove l'orientazione positiva del bordo \( \partial D \) si ottiene percorrendolo tenendo sempre \( D \) alla propria sinistra.

In alternativa, applicando il teorema di Gauss-Green, si ha \[ ℒ_{\partial D^+}(\mathbf{F}) \overset{\text{th}}{=} \iint_D \left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\dots\right) - \frac{\partial}{\partial y}\left(\dots\right)\right]\text{d}x\,\text{d}y = \dots \] A te procedere.

"TeM":[quote="-Chic-"]Grazie per il benvenuto e per l'aiuto che mi hai dato.

Prego! Quindi, a quanto ammonta tale lavoro? [/quote]

Ciao, scusa il ritardo ma sono stata parecchio impegnata. Ci ho provato, volevo sapere se fin qui il ragionamento è giusto .
Ti dico quello che ho fatto:
Noto che la prima disequazione di D \[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + \frac{y^2}{4} \le 1, \; x \ge 0 \right\} \] è un ellisse di centro (0,0) e semiassi a=1 e b=2
quindi parametrizzo in questo modo
x=cos(t) e y=2sen(t) tin [0,2Pi ]
e pongo
cos t>=0 quindi 3Pi /2<=t<=Pi /2

adesso secondo la definizione di Lavoro scrivo:

int_(Pi/2 )^(3Pi/2) [cos^2(t)-2(2sen(t)]*[-sen(t)]+[cos(t)+(2sen(t))^2]*[2cos(t)] dt

Allora che mi dici? Posso svolgere l'integrale oppure ho sbagliato?