Calcolo del flusso senza usare il teorema della divergenza?
Salve ragazzi!
Ho questo problema della quale non riesco ad imbroccare neanche la strada corretta
Devo calcolare il flusso attraverso una superficie senza usare il teorema della divergenza ( $\int grad\vec f dV$) ma tramite il calcolo della normale e dell' elemento d'area ( $\int \vecf \cdot \vec n d\sigma$)
La traccia del problema è questa
$\vec f \(x,y,xz)$
$x^2+y^2+z^2=1$ con z $0 \lez \le2/5$
Quindi abbiamo la nostra figura che sarà una porzione di sfera, tagliata all' altezza di $2/5$ e $0$
Per il calcolo totale del flusso queindi ho la somma di 3 integrali, i due riguardanti i piani e l'altro riguardante il "contorno"
Ma non capisco veramente come fare per i calcoli!
Ho provato col teorema della divergenza e il risultato ultimo dovrebbe essere $126/375 Pi$
Ho questo problema della quale non riesco ad imbroccare neanche la strada corretta
Devo calcolare il flusso attraverso una superficie senza usare il teorema della divergenza ( $\int grad\vec f dV$) ma tramite il calcolo della normale e dell' elemento d'area ( $\int \vecf \cdot \vec n d\sigma$)
La traccia del problema è questa
$\vec f \(x,y,xz)$
$x^2+y^2+z^2=1$ con z $0 \lez \le2/5$
Quindi abbiamo la nostra figura che sarà una porzione di sfera, tagliata all' altezza di $2/5$ e $0$
Per il calcolo totale del flusso queindi ho la somma di 3 integrali, i due riguardanti i piani e l'altro riguardante il "contorno"
Ma non capisco veramente come fare per i calcoli!
Ho provato col teorema della divergenza e il risultato ultimo dovrebbe essere $126/375 Pi$
Risposte
[spoiler][/spoiler]
Questo modo di procedere è corretto se ti riferisci all'applicazione del teorema della divergenza, ove il flusso uscente
dalla superficie d'interesse lo si calcola sottraendo al flusso uscente dall'intero bordo del solido "tronco sferico" quello
del piano di taglio inferiore e quello del piano di taglio superiore. D'altro canto, applicando la definizione, il flusso che
si calcola è esattamente quello attraverso la superficie d'interesse.
In particolare, dati un campo vettoriale \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) definito da \[ \mathbf{F}(x,\,y,\,z) := \left( x,\,y,\,x\,z \right) \] e una superficie di sostegno \[ \Sigma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : z = \sqrt{1-x^2-y^2}, \; 0 \le z \le \frac{2}{5} \right\}, \] parametrizzabile in maniera naturale come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(u,\,v) = \left(u\,\cos v, \; u\,\sin v, \, \sqrt{1-u^2}\right), \; \; \; \text{per} \; (u,\,v) \in A := \left[\frac{\sqrt{21}}{5},\,1\right] \times \left[0,\,2\,\pi\right), \] il flusso \(\Phi\) di \(\mathbf{F}\) attraverso \(\Sigma\) è definito tramite il seguente integrale di superficie:
\[ \Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) := \iint\limits _{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\Sigma} \, \text{d}\sigma = \iint\limits_A \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,\,v)) \cdot \left(\mathbf{r}_u(u,\,v) \land \mathbf{r}_v(u,\,v)\right)\,\text{d}u\,\text{d}v = \dots = \frac{284}{375}\,\pi\,.
\] A te i conti (rivedi anche l'applicazione del teorema della divergenza).
[/quote]
ciao Tem, grazie mille per la risposta, hai ragione ho riprovato i calcoli col teorema della divergenza e il risultato è quello da te riportato.
Ho fatto i calcoli applicando la definizione e il risultato mi torna a meno del segno negativo! Incredibile... non capisco dove io sbagli, ti riporto i miei calcoli. (Ho chiamato la tua $u = r$ e la $v= \theta$ quindi \phi(r,\theta)
$ \frac(\partial \Phi) (\partial r) = (cos \theta, sin\theta, - \frac r(sqrt(1-r^2)))$
$ \frac(\partial \Phi) (\partial \theta)= (-rsin\theta,r\cos\theta,0))$
quindi
$\frac(\partial \Phi) (\partial r) \times \frac(\partial \Phi) (\partial \theta)= (\frac(r^2)(\sqrt(1-r^2))cos\theta,\frac(r^2)(\sqrt(1-r^2))sin\theta, r )) $
e
$\vec F(\phi(r,\theta))=(rcos\theta,rsin\theta,rcos\sqrt(1-r^2)) $
dunque
$\int\int \vec F(\phi(r,\theta))\cdot\frac(\partial \Phi) (\partial r) \times \frac(\partial \Phi) (\partial \theta) drd\theta $
sarà uguale a
$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt(21)/5} \frac (r^3)(\sqrt(1-r^2))cos^2\theta + \frac (r^3)(\sqrt(1-r^2))sin^2\theta + r^2cos\theta\sqrt(1-r^2)drd\theta=$
$=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt(21)/5} \frac (r^3)(\sqrt(1-r^2)) + r^2cos\theta\sqrt(1-r^2)drd\theta$
integrado prima in $d\theta$ avremo il terzo addendo che scompare integrandro il $cos\theta$tra $[0, \2pi]$
$2\pi \int_{1}^{\sqrt(21)/5} \frac (r^3)(\sqrt(1-r^2)) dr=$
$=2\pi[-1/3\sqrt(1-r^2)(r^2+2)]_{1}^{\sqrt(21)/5}= -284/375\pi$
"TeM":
[quote="rdlf"]Per il calcolo totale del flusso ho la somma di 3 integrali: i due riguardanti i piani e l'altro riguardante il "contorno".
Questo modo di procedere è corretto se ti riferisci all'applicazione del teorema della divergenza, ove il flusso uscente
dalla superficie d'interesse lo si calcola sottraendo al flusso uscente dall'intero bordo del solido "tronco sferico" quello
del piano di taglio inferiore e quello del piano di taglio superiore. D'altro canto, applicando la definizione, il flusso che
si calcola è esattamente quello attraverso la superficie d'interesse.
In particolare, dati un campo vettoriale \(\mathbf{F} : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) definito da \[ \mathbf{F}(x,\,y,\,z) := \left( x,\,y,\,x\,z \right) \] e una superficie di sostegno \[ \Sigma := \left\{ (x,\,y,\,z) \in \mathbb{R}^3 : z = \sqrt{1-x^2-y^2}, \; 0 \le z \le \frac{2}{5} \right\}, \] parametrizzabile in maniera naturale come \[ (x,\,y,\,z) := \mathbf{r}(u,\,v) = \left(u\,\cos v, \; u\,\sin v, \, \sqrt{1-u^2}\right), \; \; \; \text{per} \; (u,\,v) \in A := \left[\frac{\sqrt{21}}{5},\,1\right] \times \left[0,\,2\,\pi\right), \] il flusso \(\Phi\) di \(\mathbf{F}\) attraverso \(\Sigma\) è definito tramite il seguente integrale di superficie:
\[ \Phi_{\Sigma}(\mathbf{F}) := \iint\limits _{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}_{\Sigma} \, \text{d}\sigma = \iint\limits_A \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,\,v)) \cdot \left(\mathbf{r}_u(u,\,v) \land \mathbf{r}_v(u,\,v)\right)\,\text{d}u\,\text{d}v = \dots = \frac{284}{375}\,\pi\,.
\] A te i conti (rivedi anche l'applicazione del teorema della divergenza).
[/quote]ciao Tem, grazie mille per la risposta, hai ragione ho riprovato i calcoli col teorema della divergenza e il risultato è quello da te riportato.
Ho fatto i calcoli applicando la definizione e il risultato mi torna a meno del segno negativo! Incredibile... non capisco dove io sbagli, ti riporto i miei calcoli. (Ho chiamato la tua $u = r$ e la $v= \theta$ quindi \phi(r,\theta)
$ \frac(\partial \Phi) (\partial r) = (cos \theta, sin\theta, - \frac r(sqrt(1-r^2)))$
$ \frac(\partial \Phi) (\partial \theta)= (-rsin\theta,r\cos\theta,0))$
quindi
$\frac(\partial \Phi) (\partial r) \times \frac(\partial \Phi) (\partial \theta)= (\frac(r^2)(\sqrt(1-r^2))cos\theta,\frac(r^2)(\sqrt(1-r^2))sin\theta, r )) $
e
$\vec F(\phi(r,\theta))=(rcos\theta,rsin\theta,rcos\sqrt(1-r^2)) $
dunque
$\int\int \vec F(\phi(r,\theta))\cdot\frac(\partial \Phi) (\partial r) \times \frac(\partial \Phi) (\partial \theta) drd\theta $
sarà uguale a
$\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt(21)/5} \frac (r^3)(\sqrt(1-r^2))cos^2\theta + \frac (r^3)(\sqrt(1-r^2))sin^2\theta + r^2cos\theta\sqrt(1-r^2)drd\theta=$
$=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt(21)/5} \frac (r^3)(\sqrt(1-r^2)) + r^2cos\theta\sqrt(1-r^2)drd\theta$
integrado prima in $d\theta$ avremo il terzo addendo che scompare integrandro il $cos\theta$tra $[0, \2pi]$
$2\pi \int_{1}^{\sqrt(21)/5} \frac (r^3)(\sqrt(1-r^2)) dr=$
$=2\pi[-1/3\sqrt(1-r^2)(r^2+2)]_{1}^{\sqrt(21)/5}= -284/375\pi$
"TeM":
[quote="rdlf"]Ho riprovato i calcoli col teorema della divergenza e il risultato è quello da te riportato.
Perfetto!
"rdlf":
Ho fatto i calcoli applicando la definizione e il risultato mi torna a meno del segno negativo!
Questo perché hai invertito gli estremi di integrazione di \(r\).
[/quote]SHAME ON ME!!!!
TeM ho da ringraziarti molto per i tuoi consigli, a presto
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