Calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
Ciao a tutti,
sono alle prese con un esercizio che richiede di calcolare il flusso del campo vettoriale:
$ F(x,y,z)=(x^3/3, y^3/3, z^2) $
attraverso la superficie
$ \Sigma = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 2} $
Ho provato a svolgerlo così:
Per il Teorema della Divergenza vale: $ \Phi_\Sigma(F) = \int\int\int_V \nabla \cdot F dxdydz $
La divergenza del campo vettoriale assegnato è: $\nabla \cdot F = x^2+y^2+2z$
La superficie assegnata ha volume V così espresso in coordinate cilindriche:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x = \rho cos(\vartheta) \\ y = \rho sin(\vartheta) \\ z = t\\
\end{matrix}\right. \)
dove $ \rho \in [0,1]$ , $\vartheta \in [0,2\pi) $ e $ t \in [0,2] $
Quindi:
$ \Phi_\Sigma(F) = \int\int\int_V \nabla \cdot F dxdydz = \int\int\int_V (x^2+y^2+2z)dxdydz = \int_0^2 dt \int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi} d\vartheta (\rho^2+2t)\rho = . . . = 5\pi$
Dalla soluzione, il risultato sembrerebbe essere $2\pi$ temo di essermi perso qualcosa.
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà aiutarmi.
Ciao!
xineohp
sono alle prese con un esercizio che richiede di calcolare il flusso del campo vettoriale:
$ F(x,y,z)=(x^3/3, y^3/3, z^2) $
attraverso la superficie
$ \Sigma = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2 \leq 1, 0 \leq z \leq 2} $
Ho provato a svolgerlo così:
Per il Teorema della Divergenza vale: $ \Phi_\Sigma(F) = \int\int\int_V \nabla \cdot F dxdydz $
La divergenza del campo vettoriale assegnato è: $\nabla \cdot F = x^2+y^2+2z$
La superficie assegnata ha volume V così espresso in coordinate cilindriche:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x = \rho cos(\vartheta) \\ y = \rho sin(\vartheta) \\ z = t\\
\end{matrix}\right. \)
dove $ \rho \in [0,1]$ , $\vartheta \in [0,2\pi) $ e $ t \in [0,2] $
Quindi:
$ \Phi_\Sigma(F) = \int\int\int_V \nabla \cdot F dxdydz = \int\int\int_V (x^2+y^2+2z)dxdydz = \int_0^2 dt \int_0^1 d\rho \int_0^{2\pi} d\vartheta (\rho^2+2t)\rho = . . . = 5\pi$
Dalla soluzione, il risultato sembrerebbe essere $2\pi$ temo di essermi perso qualcosa.
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà aiutarmi.
Ciao!
xineohp
Risposte
Ciao xineohp, benvenuto sul Forum.
$Sigma$ mi sembra un volume più che una superficie. Sei sicuro del testo ?
$Sigma$ mi sembra un volume più che una superficie. Sei sicuro del testo ?
Ciao ingres, innanzitutto grazie mille per l'accoglienza e per la celere risposta!
Hai ragione, anche io avevo notato quell'errore nel testo (immagino non intendesse un "≤" ma un "="), ma nel ricopiare il testo dell'esercizio tra una formula e l'altra in LaTeX non ci ho pensato a correggere. Al netto di questo, pensi che l'approccio alla risoluzione sia corretto?
Hai ragione, anche io avevo notato quell'errore nel testo (immagino non intendesse un "≤" ma un "="), ma nel ricopiare il testo dell'esercizio tra una formula e l'altra in LaTeX non ci ho pensato a correggere. Al netto di questo, pensi che l'approccio alla risoluzione sia corretto?
Ciao xineohp,
Secondo me ha ragione ingres e ciò che hai indicato con $\Sigma $ in realtà è $V$ (cilindro retto di altezza $\Delta z = 2$) ed invece si ha:
$\Sigma = \del V = {(x,y,z) \in \RR^3 | x^2+y^2 = 1, 0 \le z \le 2} $
Ciò detto l'applicazione del teorema della divergenza mi pare corretta:
$\Phi_\Sigma(F) = \int\int\int_V \nabla \cdot F \text{d}x\text{d}y\text{d}z = \int\int\int_V (x^2+y^2+2z) \text{d}x\text{d}y\text{d}z = $
$ = \int_0^2 [\int \int (x^2+y^2+2z) \text{d}x\text{d}y] \text{d}z = \int_0^2 [\int_0^{2\pi} \text{d}\theta\int_0^1 (\rho^2+2z) \rho\text{d}\rho] \text{d}z = $
$ = 2\pi \int_0^2 [\int_0^1 \rho^3 \text{d}\rho + 2z\int_0^1 \rho \text{d}\rho] \text{d}z = 2\pi \int_0^2 [[\rho^4/4]_0^1 + 2z [\rho^2/2]_0^1] \text{d}z = $
$ = 2\pi \int_0^2 [1/4 + z] \text{d}z = 2 \pi [1/4 \int_0^2 \text{d}z +\int_0^2 z \text{d}z] = 2 \pi [1/2 + 4/2] = 5\pi $
Secondo me ha ragione ingres e ciò che hai indicato con $\Sigma $ in realtà è $V$ (cilindro retto di altezza $\Delta z = 2$) ed invece si ha:
$\Sigma = \del V = {(x,y,z) \in \RR^3 | x^2+y^2 = 1, 0 \le z \le 2} $
Ciò detto l'applicazione del teorema della divergenza mi pare corretta:
$\Phi_\Sigma(F) = \int\int\int_V \nabla \cdot F \text{d}x\text{d}y\text{d}z = \int\int\int_V (x^2+y^2+2z) \text{d}x\text{d}y\text{d}z = $
$ = \int_0^2 [\int \int (x^2+y^2+2z) \text{d}x\text{d}y] \text{d}z = \int_0^2 [\int_0^{2\pi} \text{d}\theta\int_0^1 (\rho^2+2z) \rho\text{d}\rho] \text{d}z = $
$ = 2\pi \int_0^2 [\int_0^1 \rho^3 \text{d}\rho + 2z\int_0^1 \rho \text{d}\rho] \text{d}z = 2\pi \int_0^2 [[\rho^4/4]_0^1 + 2z [\rho^2/2]_0^1] \text{d}z = $
$ = 2\pi \int_0^2 [1/4 + z] \text{d}z = 2 \pi [1/4 \int_0^2 \text{d}z +\int_0^2 z \text{d}z] = 2 \pi [1/2 + 4/2] = 5\pi $
Se la superficie del problema è quella indicata da @pilloeffe si tratta del flusso sulla superficie laterale del cilindro retto.
Quindi al risultato del teorema della divergenza bisogna togliere i flussi sulle due basi del cilindro.
Si può facilmente verificare che il risultato che si ottiene è lo stesso di quello ottenibile per calcolo diretto del flusso sulla superficie laterale.
Quindi al risultato del teorema della divergenza bisogna togliere i flussi sulle due basi del cilindro.
Si può facilmente verificare che il risultato che si ottiene è lo stesso di quello ottenibile per calcolo diretto del flusso sulla superficie laterale.
Grazie molte ad entrambi per il contributo.
I calcoli che ho eseguito sono del tutto in linea con quelli effettuati da @piloeffe.
Il problema è che stando alle soluzioni del professore, che riporto qui sotto, il risultato sembrerebbe essere $2\pi$.
Vi allego la soluzione proposta dall'insegnante:
...c'è qualcosa che non mi torna...
I calcoli che ho eseguito sono del tutto in linea con quelli effettuati da @piloeffe.
Il problema è che stando alle soluzioni del professore, che riporto qui sotto, il risultato sembrerebbe essere $2\pi$.
Vi allego la soluzione proposta dall'insegnante:
...c'è qualcosa che non mi torna...
"xineohp":
...c'è qualcosa che non mi torna...
Mi sembra scomparso il $+$ dopo $y^2$
Anche "supercificie" non è male...
"xineohp":
Vi allego la soluzione proposta dall'insegnante:
...c'è qualcosa che non mi torna...
Chiedo scusa a nome della categoria....
Probabilmente lui sottintende che si cerca il flusso attraverso $\partial\Sigma$ ( uscente da $\Sigma$).
Poi c'è quel "$+$" che diventa un prodotto
Se non ho fatto male i conti, il flusso dalla superficie di base $S_0 $ (quella che si ha per $z = 0$) è il seguente:
$\Phi(S_0) = \int \int_{S_0} F \cdot (0, 0, - 1) \text{d}S = \int_0^{2\pi}\int_0^1 ((cos^3 \theta)/3, (sin^3 \theta)/3, 0) \cdot (0, 0, - 1) \rho \text{d}\rho \text{d}\theta = 0 $
Invece il flusso dalla superficie superiore $S_2 $ (quella che si ha per $z = 2$) è il seguente:
$\Phi(S_2) = \int \int_{S_2} F \cdot (0, 0, 1) \text{d}S = \int_0^{2\pi}\int_0^1 ((cos^3 \theta)/3, (sin^3 \theta)/3, 4) \cdot (0, 0, 1) \rho \text{d}rho \text{d}\theta = $
$ = 8\pi \int_0^1 \rho \text{d}\rho = 8\pi [\rho^2/2]_0^1 = 4\pi $
Il flusso dalla superficie laterale $S_l $ del cilindro invece è il seguente:
$\Phi(S_l) = \int \int_{S_l} F \cdot (cos\theta, \sin\theta, 0) \text{d}S = \int_0^{2\pi}\int_0^2 ((cos^3 \theta)/3, (sin^3 \theta)/3, z^2) \cdot (cos\theta, \sin\theta, 0) \text{d}z \text{d}\theta = $
$ = \int_0^{2\pi}\int_0^2 [(cos^4\theta)/3 + (sin^4 \theta)/3] \text{d}z \text{d}\theta = 2/3 \int_0^{2\pi}[cos^4\theta + sin^4\theta] \text{d}\theta = 2/3 \cdot (3\pi)/2 = \pi $
Infatti $\Phi_{\Sigma}(F) = \Phi(S_0) + \Phi(S_2) + \Phi(S_l) = 0 + 4\pi + \pi = 5\pi $
$\Phi(S_0) = \int \int_{S_0} F \cdot (0, 0, - 1) \text{d}S = \int_0^{2\pi}\int_0^1 ((cos^3 \theta)/3, (sin^3 \theta)/3, 0) \cdot (0, 0, - 1) \rho \text{d}\rho \text{d}\theta = 0 $
Invece il flusso dalla superficie superiore $S_2 $ (quella che si ha per $z = 2$) è il seguente:
$\Phi(S_2) = \int \int_{S_2} F \cdot (0, 0, 1) \text{d}S = \int_0^{2\pi}\int_0^1 ((cos^3 \theta)/3, (sin^3 \theta)/3, 4) \cdot (0, 0, 1) \rho \text{d}rho \text{d}\theta = $
$ = 8\pi \int_0^1 \rho \text{d}\rho = 8\pi [\rho^2/2]_0^1 = 4\pi $
Il flusso dalla superficie laterale $S_l $ del cilindro invece è il seguente:
$\Phi(S_l) = \int \int_{S_l} F \cdot (cos\theta, \sin\theta, 0) \text{d}S = \int_0^{2\pi}\int_0^2 ((cos^3 \theta)/3, (sin^3 \theta)/3, z^2) \cdot (cos\theta, \sin\theta, 0) \text{d}z \text{d}\theta = $
$ = \int_0^{2\pi}\int_0^2 [(cos^4\theta)/3 + (sin^4 \theta)/3] \text{d}z \text{d}\theta = 2/3 \int_0^{2\pi}[cos^4\theta + sin^4\theta] \text{d}\theta = 2/3 \cdot (3\pi)/2 = \pi $
Infatti $\Phi_{\Sigma}(F) = \Phi(S_0) + \Phi(S_2) + \Phi(S_l) = 0 + 4\pi + \pi = 5\pi $
Ringrazio nuovamente tutti per i vari contributi.
@piloeffe stavo per condividere anche io il calcolo esplicito del flusso senza passare per il Teorema della Divergenza ed in effetti mi torna tutto, eccezion fatta di un dettaglio.
Per esprimere le superfici costituite dai due cerchi che "chiudono" il cilindro a quota $z=0$ e $z=2$ (quelle che tu hai chiamato $S_0$ ed $S_2$) ho utilizzato le seguenti parametrizzazioni (che indico rispettivamente $\sigma$ e $\tau$ con le seguenti limitazioni in entrambe $u \in [0,2\pi)$ e $v \in[0,1]$):
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x=v\,cos(u)
\\
y=v\,sin(u)
\\
z=0
\end{matrix}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x=v\,cos(u)
\\
y=v\,sin(u)
\\
z=2
\end{matrix}\right. \)
In ambo i casi (vedi screen sottostante) il prodotto vettoriale \(\displaystyle \frac{\partial \sigma}{\partial u} \times \frac{\partial \sigma}{\partial v} = (0,0,-v) = \frac{\partial \tau}{\partial u} \times \frac{\partial \tau}{\partial v} \)
Quindi negli integrali $\Phi(S_0)$ e $\Phi(S_2)$ come secondo membro del prodotto scalare ho rispettivamente $(0,0,-v)$ e $(0,0,v)$, ma in ogni caso i conti risultano $0$ il primo e $\pi$ il secondo.
Sommando poi i vari contributi, compreso quello di $\Phi(S_l)$, si arriva all'atteso $5\pi$.
Una domanda: il motivo per cui in $\Phi(S_2)$ il segno della normale è invertito, è perché necessario che essa sia sempre uscente in termini di verso?
@piloeffe stavo per condividere anche io il calcolo esplicito del flusso senza passare per il Teorema della Divergenza ed in effetti mi torna tutto, eccezion fatta di un dettaglio.
Per esprimere le superfici costituite dai due cerchi che "chiudono" il cilindro a quota $z=0$ e $z=2$ (quelle che tu hai chiamato $S_0$ ed $S_2$) ho utilizzato le seguenti parametrizzazioni (che indico rispettivamente $\sigma$ e $\tau$ con le seguenti limitazioni in entrambe $u \in [0,2\pi)$ e $v \in[0,1]$):
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x=v\,cos(u)
\\
y=v\,sin(u)
\\
z=0
\end{matrix}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
x=v\,cos(u)
\\
y=v\,sin(u)
\\
z=2
\end{matrix}\right. \)
In ambo i casi (vedi screen sottostante) il prodotto vettoriale \(\displaystyle \frac{\partial \sigma}{\partial u} \times \frac{\partial \sigma}{\partial v} = (0,0,-v) = \frac{\partial \tau}{\partial u} \times \frac{\partial \tau}{\partial v} \)
Quindi negli integrali $\Phi(S_0)$ e $\Phi(S_2)$ come secondo membro del prodotto scalare ho rispettivamente $(0,0,-v)$ e $(0,0,v)$, ma in ogni caso i conti risultano $0$ il primo e $\pi$ il secondo.
Sommando poi i vari contributi, compreso quello di $\Phi(S_l)$, si arriva all'atteso $5\pi$.
Una domanda: il motivo per cui in $\Phi(S_2)$ il segno della normale è invertito, è perché necessario che essa sia sempre uscente in termini di verso?
"xineohp":
Ringrazio nuovamente tutti per i vari contributi.
Prego.
"xineohp":
in effetti mi torna tutto, eccezion fatta di un dettaglio.
Non ho fatto alcun calcolo, ma ho utilizzato direttamente i versori (vettori a norma $1$) che nel caso delle due superfici $S_0 $ e $S_2 $ si trovano immediatamente: $- \mathbf \hat k $ per $S_0 $ e $ \mathbf \hat k $ per $S_2 $: comunque ti basta normalizzare quelli che hai trovato tu e trovi quelli che ho usato io...
"xineohp":
Una domanda: il motivo per cui in $\Phi(S_2) $ il segno della normale è invertito, è perché necessario che essa sia sempre uscente in termini di verso?
Sì, ho immaginato fosse questa la richiesta dell'esercizio, come
"ViciousGoblin":
sottintende che si cerca il flusso attraverso $\del \Sigma $ ( uscente da $\Sigma $).
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