Calcolo del flusso di un campo vettoriale

[nokiaspace]

Determinare il flusso del campo vettoriale F (x, y, z^2) attraverso la superficie canonica parametrizzata dal sistema:

x= u cosv
y= u sinv
z= u

con (u, v) appartenenti a [1, 2] x [0, $ pi $] , con normale indotta dalla parametrizzazione.

Chi mi aiuta a risolverlo?

Io ho utilizzato la matrice jacobiana per trovarmi la normale e mi viene $ sqrt(2) $ u, ma dopo come faccio a moltiplicarlo per F (x, y, z^2)?

[walter891]

in realtà devi trovare un vettore da moltiplicare a $F$, la matrice che ti serve non è la jacobiana ma quella che usi per calcolare il prodotto vettoriale tra le derivate della parametrizzazione rispetto a $u$ e $v$

[nokiaspace]

me lo sapreste risolvere algebricamente... non so proprio come fare!
comunque grazie per la risposta

[lawrencetb]

Ciao come ti hanno già detto la normale è un vettore, e il flusso lo calcoli con la definizione mediante $\int_S d sigma$.
Quindi devi moltiplicare scalarmente il campo per la normale esterna alla superficie, il prodotto scalare è così definito $\ =sum_{i=1}^n x_i y_i$ se $\x,y in RR^n$

[nokiaspace]

quando moltiplico radice di 2u per F (x,y,z^2) come viene?

[lawrencetb]

Ma da dove salta fuori questa radice? La normale è un vettore di 3 componenti!

[nokiaspace]

Per trovarmi la normale utilizzo la matrice jacobiana, mi trovo i minori, li elevo al quadrato, li metto sotto rdice e mi vine " $ sqrt2 $ u "...procedimento suggerito dal mio insenante! quindi le componenti della normale dovrebbero essere (0,0, $ sqrt2 $ u)? Mi manca solo questo passaggio per poi utilizzare la definizione di flusso...

[lawrencetb]

No aspetta, il procedimento che dici tu mi ricorda l'area della superficie...ovvero $\int_R ||N|| dtds$ dove $\||N||=sqrt(A^2+B^2+C^2$ se $\N=(A,B,C)$.
Per il flusso mi autoquoto il messaggio precedente, non devi trovare la norma del vettore normale ma moltiplicarlo scalarmente per il campo..

[nokiaspace]

Ho capito che la norma del vettore normale deve essere moltiplicato per il campo...
Il vettore normale mi viene solo "u radice di 2" quindi equivale alla terna (0,0,u radice di 2) come ho scritto prcedentemente, quando vado a moltiplicarlo scalarmente per F( x, y, z^2) quanto viene??

[matematico91]

ti stai confondendo; questo è un integrale di 2° specie. http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... nda_specie

[lawrencetb]

"nokiaspace":Ho capito che la norma del vettore normale deve essere moltiplicato per il campo...

Ma qui non ti serve la norma, ti serve il vettore normale per il prodotto scalare con il campo..

[nokiaspace]

allora vi allego l'immagine di come ho svolto l'esercizio che però non riesco a completare

http://imageshack.us/photo/my-images/687/img079he.jpg/

[lawrencetb]

Scusa ma hai letto quello che ho scritto?
Non devi fare la norma di N. $\sqrt(2)u$ è uno scalare e non un vettore.
Dentro l'integrale devi fare il prodotto scalare (tra due vettori che da come risultato uno scalare) di F e N..

[nokiaspace]

lawrencetb visto che lo sai fare perchè non mi scrivi un attimo i passaggi? visto che a parole non riesco a seguirti...
grazie mille

[lawrencetb]

$\F=(x,y,z^2)$
$\N=(-ucosv,-usinv,u)$
$\int_S d sigma=int_0^pi int_1^2 <(ucosv,usinv,u^2),(-ucosv,-usinv,u>du dv=$
$\=int_0^pi int_1^2 -u^2+u^3 du dv=$
$\= pi(4-1/4-(8/3-1/3))$
però magari ho sbagliato qualche conto perchè ho fatto al volo

[nokiaspace]

ok lowrencetb ora è chiaro hai sbagliato l'ultima componente non è u bensì u^2 perché F è: x,y,z^2 ma poi "u radice di 2" che fine fa?
Mi sono spiegato?

[lawrencetb]

Ho corretto guarda un po' ora, $\usqrt(2)$ è la norma del vettore normale che non serve

[nokiaspace]

lowrence ma non mi è chiaro perchè non serve? e che lo calcolo a fare? il prof all'uni così fa e usa la norma del vettore, cioè mi spiego meglio moltiplica la norma del vettore per l'equazione della superficie che in questo caso sono parametriche.

[lawrencetb]

Mi sembra davvero strano, la norma del vettore servirebbe per calcolare l'area della superficie..

[nokiaspace]

bisognerebbe sapere il parere anche di qualche altro utente magari ci confrontiamo per vedere come lo risolvono...