Calcolo del flusso di un campo vettoriale

[CallistoBello]

Testo : Si consideri il campo vettoriale : $F=((2xy)/(x^2+y^2)^2,(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2,0)$
Calcolare il flusso del campo attraverso la porzione di superficie sferica di centro l'origine e raggio R compresa nel primo ottante , orientata verso l'alto.

Il mio risultato è : $Phi=pi/2$
Risultato del libro: $Phi=3pi/16$

Mi servirebbe sapere se il risultato del libro è errato
(in caso contrario, posterò il mio tentativo di risoluzione)

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

Sì, secondo me il risultato del testo è errato: anche a me procedendo cartesianamente risulta $\Phi = \pi/2 $ (in questo caso non conviene tanto procedere col teorema della divergenza perché occorrerebbero troppi "tappi" per chiudere la superficie... ), anche se si ha:

$ \text{div}\mathbf{F}(x, y, z) = (del F_1)/(del x) + (del F_2)/(del y) + (del F_3)/(del z) = (2 y (y^2 - 3x^2))/(x^2 + y^2)^3 - (2 y (y^2 - 3x^2))/(x^2 + y^2)^3 + 0 = 0 $

Invece mediante la definizione si ha:

$ \Phi(S) = \int \int_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \text{d}S = \int \int ((2xy)/(x^2+y^2)^2,(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2,0) \cdot (- (del f)/(del x), - (del f)/(del y), 1) \text{d}x \text{d}y = $
$ = \int \int ((2xy)/(x^2+y^2)^2,(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2,0) \cdot (x/sqrt(R^2 - x^2 - y^2), y/\sqrt(R^2 - x^2 - y^2), 1) \text{d}x \text{d}y = $
$ = \int \int [(2x^2y)/((x^2 + y^2)^2(\sqrt(R^2 - x^2 - y^2))) + (y(y^2-x^2))/((x^2+y^2)^2\sqrt(R^2 - x^2 - y^2))] \text{d}x \text{d}y = $
$ = \int \int y/((x^2+y^2)\sqrt(R^2 - x^2 - y^2)) \text{d}x \text{d}y $

Qui diventa evidente l'opportunità di passare alle coordinate polari $x = \rho cos\theta $, $y = \rho sin \theta $, sicché si ha:

$ \Phi(S) = \int_0^{\pi/2} \int_0^R (sin\theta)/(\sqrt(R^2 - \rho^2)) \text{d}\rho \text{d}\theta = \int_0^R ( \text{d}\rho)/(\sqrt(R^2 - \rho^2)) = [arcsin(\rho/R)]_0^R = arcsin(1) = \pi/2 $