Calcolo del flusso con il teorema della divergenza
Ciao ragazzi,
sto cercando di calcolare il flusso uscente dalla sfera di centro (1,1,1) e raggio 3 data
\( F:(x,y,z)\epsilon \Re ^3\rightarrow (x-e^{yz},y+e^x,z) \epsilon \Re ^3 \)
mediante la divergenza.
Ho calcolato la div(F)=3
quindi mi ritrovo
\( \int_{S}\, 3dx\, dy\, dz \)
a questo punto sono passato alle coordinate sferiche:
x=x0+rsin(a)cos(b)
y=y0+rsin(a)sin(b)
z=z0+rcos(a)
dove:
x0=1 e
\( 0\leq r\leq 3,0\leq a\leq \Pi ,0\leq b\leq \ 2Pi \)
ho calcolato il determinante Jacobiano, det(J) = $ r^2*sin(a) $
a questo punto devo svolgere
\( \int_{0}^{3} \,\int_{0}^{\Pi } \,\int_{0}^{2\Pi } xyzdet(J)\, drdadb \)
il problema sorge nella risoluzione dell'integrale triplo una volta sostituite a xyz le coordinate sferiche scritte sopra!
Ho pensato di calcolare il flusso con la sfera centrata nell'origine in quanto il volume della sfera rimane inalterato e la funzione integranda si semplifica notevolmente però non so se è corretto..
Voi come risolvete?
sto cercando di calcolare il flusso uscente dalla sfera di centro (1,1,1) e raggio 3 data
\( F:(x,y,z)\epsilon \Re ^3\rightarrow (x-e^{yz},y+e^x,z) \epsilon \Re ^3 \)
mediante la divergenza.
Ho calcolato la div(F)=3
quindi mi ritrovo
\( \int_{S}\, 3dx\, dy\, dz \)
a questo punto sono passato alle coordinate sferiche:
x=x0+rsin(a)cos(b)
y=y0+rsin(a)sin(b)
z=z0+rcos(a)
dove:
x0=1 e
\( 0\leq r\leq 3,0\leq a\leq \Pi ,0\leq b\leq \ 2Pi \)
ho calcolato il determinante Jacobiano, det(J) = $ r^2*sin(a) $
a questo punto devo svolgere
\( \int_{0}^{3} \,\int_{0}^{\Pi } \,\int_{0}^{2\Pi } xyzdet(J)\, drdadb \)
il problema sorge nella risoluzione dell'integrale triplo una volta sostituite a xyz le coordinate sferiche scritte sopra!
Ho pensato di calcolare il flusso con la sfera centrata nell'origine in quanto il volume della sfera rimane inalterato e la funzione integranda si semplifica notevolmente però non so se è corretto..
Voi come risolvete?
Risposte
Ti faccio presente che $\int\int\int_V dx\ dy\ dz$ rappresenta il volume di $V$.
Si, però non capisco cosa mi vuoi dire...
Usando il teorema della divergenza:
$$\int_{\partial V}F\ d\sigma=\int\int\int_V \nabla\cdot F\ dx\ dy\ dz=3\int\int\int_V\ dx\ dy\ dz=3\cdot\mathrm{vol}(V)$$
ecco cosa voglio dire. E $V$ è una sfera di raggio noto.
$$\int_{\partial V}F\ d\sigma=\int\int\int_V \nabla\cdot F\ dx\ dy\ dz=3\int\int\int_V\ dx\ dy\ dz=3\cdot\mathrm{vol}(V)$$
ecco cosa voglio dire. E $V$ è una sfera di raggio noto.
quindi l'integrale triplo avrei potuto calcolarlo anche con la sfera centrata nell'origine invece che in (1,1,1) e il risultato dovrebbe essere $27Pi$ , giusto?
No, l'integrale lo dovresti calcolare comunque con la sfera che ti viene fornita. Ma il volume di una sfera, fissato il raggio, è sempre è comunque $4/3 \pi R^3$. Per cui il risultato è $108\pi$.
Il senso della mia osservazione, però, è più sottile (e noto che ti sfugge) ed è il seguente: è inutile usare dei cannoni protonici ad antimateria per ammazzare una formica, quando basta pestarla! Equivalentemente: è inutile calcolare un integrale mediamente complicato, quando già sai quale sia il suo valore.
E se vogliamo, il senso (lato) della cosa diventa: magari ragionare sull'esercizio, prima di mettersi a fare acrobazie alla Spiderman, senza averne i poteri, piuttosto che lavorare come un automa capace solo di macinare formulette e conti, sarebbe meglio!
Il senso della mia osservazione, però, è più sottile (e noto che ti sfugge) ed è il seguente: è inutile usare dei cannoni protonici ad antimateria per ammazzare una formica, quando basta pestarla! Equivalentemente: è inutile calcolare un integrale mediamente complicato, quando già sai quale sia il suo valore.
E se vogliamo, il senso (lato) della cosa diventa: magari ragionare sull'esercizio, prima di mettersi a fare acrobazie alla Spiderman, senza averne i poteri, piuttosto che lavorare come un automa capace solo di macinare formulette e conti, sarebbe meglio!
Come ho scritto nel primo messaggio volevo calcolare volume della sfera come se fosse centrata nell'origine però non ero sicuro della correttezza ai fini dell'esercizio, poi nella risposta sopra la tua avevo utilizzato la formula $ 4/3*Pi*r^3 $ però mi sono dimenticato di moltiplicare $ 27Pi $ per 4 
Grazie mille per l'aiuto
Grazie mille per l'aiuto
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