Calcolo del flusso
Ho un problema nel calcolo del flusso di una superficie laterale.
Dato il campo $F=2xz,e^z+4y^3,z+2$ nella regione $V={(x,y,z}\in\RR^3|x^2+y^2<=1; -2
Devo calcolare il flusso uscente dalla superficie totale $\partialV$ e il flusso uscente dalla superficie laterale $\partialV_+$
Io il flusso uscente dalla superficie totale l'ho trovato.
$\int\int\int_{V}divF=\int\int_{x^2+y^2<=1}\int_{-2}^{2}2z+12y^2+1dzdxdx=16pi$
Mentre per la superficie laterale, credo che si debba trovare il flusso sulle due basi del cilindro e sottrarlo a quello totale. O almeno è quello che la logica direbbe.
Però non ho idea di come calcolare il flusso sulle basi.
Nella soluzione calcola con $z=-2$ e $\hat n_e=-k => F*\hat n_e=-F_3=0$
La stessa cosa fatta con $z=2$ e $\hat n_e=k => F*\hat n_e=F_3=4$
Com'è stata calcolata sta roba?
Dato il campo $F=2xz,e^z+4y^3,z+2$ nella regione $V={(x,y,z}\in\RR^3|x^2+y^2<=1; -2
Devo calcolare il flusso uscente dalla superficie totale $\partialV$ e il flusso uscente dalla superficie laterale $\partialV_+$
Io il flusso uscente dalla superficie totale l'ho trovato.
$\int\int\int_{V}divF=\int\int_{x^2+y^2<=1}\int_{-2}^{2}2z+12y^2+1dzdxdx=16pi$
Mentre per la superficie laterale, credo che si debba trovare il flusso sulle due basi del cilindro e sottrarlo a quello totale. O almeno è quello che la logica direbbe.
Però non ho idea di come calcolare il flusso sulle basi.
Nella soluzione calcola con $z=-2$ e $\hat n_e=-k => F*\hat n_e=-F_3=0$
La stessa cosa fatta con $z=2$ e $\hat n_e=k => F*\hat n_e=F_3=4$
Com'è stata calcolata sta roba?
Risposte
la base inferiore del cilindro è contenuta nel piano $z=-2$ e quindi in ogni punto il versore normale uscente è $ -hat(k)=(0,0-1) $
si ha$ vecFcdot(-hat(k))=(F_1,F_2,F_3)cdot(0,0-1)=-F_3=0 $ ,perchè ci troviamo sul piano $z=-2$
analogamente si ragiona per l'altra base
si ha$ vecFcdot(-hat(k))=(F_1,F_2,F_3)cdot(0,0-1)=-F_3=0 $ ,perchè ci troviamo sul piano $z=-2$
analogamente si ragiona per l'altra base
Ah non pensavo fosse così semplice. Grazie!
Problema: calcolare il flusso del campo $F=x(y^2+z^2)i+3yj+xz^2k$ uscente dalla superficie laterale del cilindro $C={(x,y,z)\in RR^3|0<=x<=4, y^2+z^2<=4}$
SI calcola facendo: $\int\int\int_{C}divF-\int\int_{\Omega}F*n_e$ dove $\Omega={x=4, y^2+z^2<=4}$
Il mio problema è sulla divergenza (che sarebbe il flusso totale) e il flusso sulle basi.
La divergenza è $y^2+z^2+3+2xz$. Integrando $\int_{0}^{4}\int\int_{y^2+z^2<=4}y^2+z^2+3+2xzdydzdx$, avrei che 2xz è dispari rispetto a x e simmetrico rispetto a z, giusto? Quindi posso cancellarlo, mentre il +3 dovrebbe essere il volume del cilindro, giusto? Quindi resta
$\int_{0}^{4}\int\int_{y^2+z^2<=4}y^2+z^2dydzdx+3Vol(C)$
Per quanto riguarda il flusso sulle basi, mi calcolo il versore, oppure posso calcolare:
$x=0, n_e=i =>F*n_e=(F_1)_(|x=0)=0$
$x=4, n_e=i =>F*n_e=(F_1)_(|x=4)=4(y^2+z^2)$
Quindi
$\int\int_{y^2+z^2)4(y^2+z^2)dydz$
Di conseguenza $\int_{0}^{4}\int\int_{y^2+z^2<=4}y^2+z^2dydzdx+3Vol(C)-\int\int_{y^2+z^2)4(y^2+z^2)dydz=3Vol(C)=3*16pi$
SI calcola facendo: $\int\int\int_{C}divF-\int\int_{\Omega}F*n_e$ dove $\Omega={x=4, y^2+z^2<=4}$
Il mio problema è sulla divergenza (che sarebbe il flusso totale) e il flusso sulle basi.
La divergenza è $y^2+z^2+3+2xz$. Integrando $\int_{0}^{4}\int\int_{y^2+z^2<=4}y^2+z^2+3+2xzdydzdx$, avrei che 2xz è dispari rispetto a x e simmetrico rispetto a z, giusto? Quindi posso cancellarlo, mentre il +3 dovrebbe essere il volume del cilindro, giusto? Quindi resta
$\int_{0}^{4}\int\int_{y^2+z^2<=4}y^2+z^2dydzdx+3Vol(C)$
Per quanto riguarda il flusso sulle basi, mi calcolo il versore, oppure posso calcolare:
$x=0, n_e=i =>F*n_e=(F_1)_(|x=0)=0$
$x=4, n_e=i =>F*n_e=(F_1)_(|x=4)=4(y^2+z^2)$
Quindi
$\int\int_{y^2+z^2)4(y^2+z^2)dydz$
Di conseguenza $\int_{0}^{4}\int\int_{y^2+z^2<=4}y^2+z^2dydzdx+3Vol(C)-\int\int_{y^2+z^2)4(y^2+z^2)dydz=3Vol(C)=3*16pi$
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