Calcolo del dominio di una funzione

[Pinturicchio10]

Ciao a tutti. Volevo chiedervi aiuto per sciogliere alcuni dubbi. Devo calcolare il dominio della funzione:
y= arcsen( ln(x-1) - ln(x) )
In effetti credo di averlo calcolato in maniera corretta e mi viene x > (e-1)/e
Il punto è che sull' arcoseno, nel risolvere la disequazione ln(x-1) -ln(x) <1 mi viene che 01 per l'argomento del secondo logaritmo. Questo mi farebbe pensare che la disuguaglianza non è mai vera (cioè è sempre >1) quando invece ln(x-1) -ln(x) è sempre minore di zero. Dove sbaglio il ragionamento?

P.S. Una domanda di chiarimento: fare ln((x-1)/x) non mi pare equivalente a ln(x-1) -ln(x) a livello di dominio perchè nel primo caso x<0 o x>1, mentre nel secondo x>1. Sono in effetti due funzioni diverse. Perchè allora nel risolvere per es. la disequazione di prima ho potuto trasformare la differenza di logaritmi nel logaritmo del rapporto?

[G.D.5]

\( \ln ( x - 1 ) - \ln ( x ) \) è sempre minore di \( 1 \) perché è sempre minore di \( 0 \).

[G.D.5]

Per quanto riguarda la seconda parte della domanda, affinché si possa applicare una certa proprietà dei logaritmi a due o più logaritmi, devono esistere tutti i logaritmi coinvolti nell'applicazione della proprietà, sicché il campo di esistenza dei logaritmi coinvolti nell'applicazione della proprietà influisce sul campo di esistenza del logaritmo che si ottiene applicando la proprietà.

Tu hai il logaritmo \( \ln ( x - 1 ) \), che esiste per \( x > 1 \), ed il logaritmo \( \ln ( x ) \), che esiste per \( x > 0 \); i due logaritmi esistono contemporaneamente per \( x > 1 \). Sotto l'ipotesi che i due logaritmi esistano contemporaneamente (i.e. sotto l'ipotesi che sia \( x > 1 \)), puoi applicare la proprietà che ti pare e che li coinvolge entrambi: avendo in questo caso a che fare con \( \ln ( x - 1 ) - \ln ( x ) \), applichi la proprietà che lega il logaritmo di un rapporto alla differenza tra il logaritmo del numeratore e quello del denominatore, con la quale proprietà ottieni \( \displaystyle \ln \left ( \frac{ x - 1 }{x} \right ) \), che esiste sotto l'ipotesi che sia \( \displaystyle \frac{ x - 1 }{x} > 0 \), sotto l'ulteriore ipotesi inizialmente fatta, i.e. che sia \( x > 1 \), sicché in definitiva \( \displaystyle \ln \left ( \frac{ x - 1 }{x} \right ) \) esiste per \( x > 1 \), laddove \( \displaystyle \ln \left ( \frac{ x - 1 }{x} \right ) \) preso da solo esiste per \( x < 0 \lor x>1 \).

[Pinturicchio10]

In primis grazie per la risposta. Solo una cosa: sul primo punto è chiaro che se quella disuaguaglianza è minore di 0 allora è sempre minore di 1 ma il fatto è che so che è minore di 0 perchè ne ho visto il grafico. A livello di disequazione, volevo capire come il fatto che ln(x-1) - ln(x) sia minore di 0 per 0

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[G.D.5]

\( \ln ( x - 1 ) - \ln ( x ) < 0 \iff \ln ( x- 1 ) < \ln ( x ) \iff x - 1 < x \iff -1 < 0 \) dove \( - 1 < 0 \) è vera \( \forall x \in \mathbb{R} \), quindi a fortiori per \( x > 1 \), condizione di esistenza di entrambi i logaritmi.

Se \( \ln ( x - 1 ) - \ln ( x ) \) fosse minore di \( 0 \) per \( 0 < x < 1 \), allora sarebbe minore di \( 0 \) in un intervallo in cui la disequazione non ha senso (non potendo esistere entrambi i logaritmi ma solo uno dei due), quindi non sarebbe minore di \( 0 \).

Volendo si può anche lavorare direttamente su \( \ln ( x - 1 ) - \ln ( x ) < 1 \):
\[
\begin{align*}
&\ln ( x - 1 ) - \ln ( x) < 1 \iff \ln ( x - 1 ) < \ln ( x ) + 1 \iff \ln ( x - 1 ) < \ln ( x ) + \ln ( e ) \iff \\
&\iff \ln ( x - 1 ) < \ln (ex) \iff x - 1 < ex \iff x - ex < 1 \iff x ( 1 - e ) < 1 \iff x > \frac{1}{1 - e}
\end{align*}
\]
Ma \( \displaystyle \frac{1}{1-e} < 0 \), sicché tenendo conto che deve essere \( x > 1 \) per l'esistenza dei logaritmi, si conclude che basta che questi esistano affinché sia \( \ln ( x - 1 ) - \ln ( x ) < 1 \), i.e. \( \forall x > 1, \ln ( x - 1 ) - \ln ( x ) < 1 \).