Calcolo dei residui
Mi sono imbattuto in un esercizio sul calcolo dei residui in cui non riesco a capire un passaggio dello svolgimento e ho alcuni dubbi per altri punti.
Calcolare i residui di \(\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{sin(z)} \)
\(\displaystyle f \) è olomorfa su \(\displaystyle \mathbb{C}\setminus\{k\pi\}_{k\in\mathbb{Z}} \)
e questo si verifica facilmente.
\(\displaystyle \infty \) non è una singolarità isolata e quindi non ha senso calcolare \(\displaystyle Res(f,\infty) \).
Primo dubbio:
io motiverei questa affermazione dicendo che poiché il punto \(\displaystyle \infty \) è di accumulazione in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) ne consegue che la singolarità all'infinito non è isolata pertanto non ha senso calcolare il residuo; è corretto?
Ora, fissato \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \) abbiamo:
\(\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^k(z-k\pi)^n}=\frac{e^z}{(z-k\pi)((-1)^k+o(z-k\pi))} \)
Questo passaggio non l'ho afferrato. Non riesco a capire cosa è successo al denominatore: prima c'era il seno, ora c'è una serie di potenze centrata in \(\displaystyle k\pi \) ma a mio parere dovrebbe esserci questa serie al denominatore:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{(z-k\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
che è la serie di Taylor di un seno centrata in \(\displaystyle k\pi \).
Il passaggio successivo è chiaramente un troncamento della serie ma troppe cose son date per scontate e non riesco a capire.
L'esercizio termina affermando che ogni singolarità del tipo \(\displaystyle z=k\pi , k \in \mathbb{Z} \) è un polo di ordine 1 e quindi i \(\displaystyle k \) residui valgono: \(\displaystyle Res(f, z_k)=(-1)^ke^{k\pi} \).
Calcolare i residui di \(\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{sin(z)} \)
\(\displaystyle f \) è olomorfa su \(\displaystyle \mathbb{C}\setminus\{k\pi\}_{k\in\mathbb{Z}} \)
e questo si verifica facilmente.
\(\displaystyle \infty \) non è una singolarità isolata e quindi non ha senso calcolare \(\displaystyle Res(f,\infty) \).
Primo dubbio:
io motiverei questa affermazione dicendo che poiché il punto \(\displaystyle \infty \) è di accumulazione in \(\displaystyle \mathbb{Z} \) ne consegue che la singolarità all'infinito non è isolata pertanto non ha senso calcolare il residuo; è corretto?
Ora, fissato \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \) abbiamo:
\(\displaystyle f(z)=\frac{e^z}{\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^k(z-k\pi)^n}=\frac{e^z}{(z-k\pi)((-1)^k+o(z-k\pi))} \)
Questo passaggio non l'ho afferrato. Non riesco a capire cosa è successo al denominatore: prima c'era il seno, ora c'è una serie di potenze centrata in \(\displaystyle k\pi \) ma a mio parere dovrebbe esserci questa serie al denominatore:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{(z-k\pi)^{2n+1}}{(2n+1)!} \)
che è la serie di Taylor di un seno centrata in \(\displaystyle k\pi \).
Il passaggio successivo è chiaramente un troncamento della serie ma troppe cose son date per scontate e non riesco a capire.
L'esercizio termina affermando che ogni singolarità del tipo \(\displaystyle z=k\pi , k \in \mathbb{Z} \) è un polo di ordine 1 e quindi i \(\displaystyle k \) residui valgono: \(\displaystyle Res(f, z_k)=(-1)^ke^{k\pi} \).
Risposte
La serie non la specifica perchè non ce n'è bisogno.
Infatti il passaggio serve solo ad evidenziare il fatto che il denominatore ha in \(k\pi\) uno zero d'ordine \(1\) e che, non essendo tale zero compensato dal denominatore, la funzione assegnata ha in \(k\pi\) un polo del primo ordine.
Per quanto riguarda il calcolo del residuo, di può fare con la solita formula relativa ai poli del primo ordine, cioè:
\[
\lim_{z\to k\pi} (z-k\pi)\ f(z)\; .
\]
Infatti il passaggio serve solo ad evidenziare il fatto che il denominatore ha in \(k\pi\) uno zero d'ordine \(1\) e che, non essendo tale zero compensato dal denominatore, la funzione assegnata ha in \(k\pi\) un polo del primo ordine.
Per quanto riguarda il calcolo del residuo, di può fare con la solita formula relativa ai poli del primo ordine, cioè:
\[
\lim_{z\to k\pi} (z-k\pi)\ f(z)\; .
\]
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