Calcolo dei residui
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per capire come calcolare il seguente residuo:
$ Res((sin2z+1)/(e^(z^2)-1),0) $
Io avevo pensato di risolverlo ricorrendo alla formula $ Res(f,z)=lim_(z -> z_0) 1/((m-1)!)d^(m-1)/dz^(m-1)((z-z_0)^mf(z)) $
dove $ z_0 = 0 $ e $ m $ è l'ordine del polo, in questo caso, se non sbaglio, $ m=2 $
Il problema è che mi viene da calcolare un limite piuttosto complicato e non riesco a venirne a capo...
Le soluzioni di questo esercizio proponevano in alternativa un altro metodo. Per prima cosa calcolano i seguenti sviuppi di MacLaurin:
$ sin2z+1= 1+2z-4/3z^3+o(z^4), z -> 0 $
$ e^(z^2)-1=z^2+1/2z^4+o(z^4), z -> 0 $
E quindi $ f(z)=1/z^2(1+2z-4/3z^3+o(z^4))/(1+1/2z^2+o(z^2)) $ e fin qui nessun problema...
poi però le soluzioni proseguono scrivendo
$ f(z)=1/z^2(1+2z-4/3z^3+o(z^4))(1-1/2z^2+o(z^2))=1/z^2+2/z-1/2+o(1) $
e dicendo che da questo si deduce che
$ Res(f,0)=2 $ ...e questi ultimi passaggi proprio non li ho capiti
Mi potreste aiutare?grazie mille in anticipo a tutti!!!
$ Res((sin2z+1)/(e^(z^2)-1),0) $
Io avevo pensato di risolverlo ricorrendo alla formula $ Res(f,z)=lim_(z -> z_0) 1/((m-1)!)d^(m-1)/dz^(m-1)((z-z_0)^mf(z)) $
dove $ z_0 = 0 $ e $ m $ è l'ordine del polo, in questo caso, se non sbaglio, $ m=2 $
Il problema è che mi viene da calcolare un limite piuttosto complicato e non riesco a venirne a capo...
Le soluzioni di questo esercizio proponevano in alternativa un altro metodo. Per prima cosa calcolano i seguenti sviuppi di MacLaurin:
$ sin2z+1= 1+2z-4/3z^3+o(z^4), z -> 0 $
$ e^(z^2)-1=z^2+1/2z^4+o(z^4), z -> 0 $
E quindi $ f(z)=1/z^2(1+2z-4/3z^3+o(z^4))/(1+1/2z^2+o(z^2)) $ e fin qui nessun problema...
poi però le soluzioni proseguono scrivendo
$ f(z)=1/z^2(1+2z-4/3z^3+o(z^4))(1-1/2z^2+o(z^2))=1/z^2+2/z-1/2+o(1) $
e dicendo che da questo si deduce che
$ Res(f,0)=2 $ ...e questi ultimi passaggi proprio non li ho capiti
Mi potreste aiutare?grazie mille in anticipo a tutti!!!
Risposte
Scusa ma, di quale funzione stai parlando?
Lo stavo correggendo che avevo sbagliato a copiare la funzione 
Ha semplicemente sviluppato [tex]$\frac{1}{1+z^2/2+o(z^2)}$[/tex] usando lo sviluppo [tex]$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2+o(t^2)$[/tex] ponendo [tex]$t=1+z^2/2+o(z^2)$[/tex] e poi ha svolto i prodotti.
ok!e da lì come si fa a dire che il residuo è uguale a 2?
Ma tu lo sai "dove si trova" il residuo di una funzione?????
ehm, mi sa di no 
Se [tex]$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$[/tex] è lo sviluppo di Laurent di [tex]$f(z)$[/tex] nell'intorno di [tex]$z_0$[/tex], allora per definizione [tex]$\mathrm{Res}(f,z_0)=a_{-1}$[/tex], il coefficiente del termine dello sviluppo di grado $-1$.
Ah ok!!!!!ora è tutto chiaro!!Grazie mille per la disponibilità 
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