Calcolo dei residui
Eccomi nuovamente a disturbarvi. Spero di non tediarvi troppo con le mie difficoltà. Posto un nuovo esercizio.
Calcolare i residui nei punti singolari e nel punto all'infinito della seguente funzione: $f(z)=1/(z^2sin(1/z))$.
La funzione dovrebbe (uso ancora una volta il condizionale!) avere singolarità isolata per $z=0$, nella fattispecie un polo del secondo ordine. Si dovrebbe inoltre registrare una singolarità non isolata in $z=1/(kpi)$.
Il residuo in zero si dovrebbe ricavare da $Res(f(z)/(g(z)); z_0)=g(z_0)/(h'(z_0))$, con $g(z)=1$ ed $h(z)=z^2sin(1/z)$, e quindi $h'(z)=2zsin(1/z)-cos(1/z)$, ma $h'(0)$ non è definita, pertanto provo col metodo del limite, ovvero $Res(f(z), z_0)=lim_(z->z_0)(1/(n-1)!)D^((n-1))[(z-z_0)^n*f(z)]$, ma anche qui mi perdo, poiché risulta $lim_(z->0)[(z^2)/(sin^2(1/z))]$, che è ovviamente irrisolvibile per via di $sin^2(infty)$.
Insomma, dovrei trovare $Res(1/(z^2sin(1/z)); 0)$ ma ignoro altre strade. Una volta scavalcato questo ostacolo, vi posterò i miei ragionamenti per la seconda domanda, ovvero per il residuo nel punto all'infinito.
Molte grazie.
Calcolare i residui nei punti singolari e nel punto all'infinito della seguente funzione: $f(z)=1/(z^2sin(1/z))$.
La funzione dovrebbe (uso ancora una volta il condizionale!) avere singolarità isolata per $z=0$, nella fattispecie un polo del secondo ordine. Si dovrebbe inoltre registrare una singolarità non isolata in $z=1/(kpi)$.
Il residuo in zero si dovrebbe ricavare da $Res(f(z)/(g(z)); z_0)=g(z_0)/(h'(z_0))$, con $g(z)=1$ ed $h(z)=z^2sin(1/z)$, e quindi $h'(z)=2zsin(1/z)-cos(1/z)$, ma $h'(0)$ non è definita, pertanto provo col metodo del limite, ovvero $Res(f(z), z_0)=lim_(z->z_0)(1/(n-1)!)D^((n-1))[(z-z_0)^n*f(z)]$, ma anche qui mi perdo, poiché risulta $lim_(z->0)[(z^2)/(sin^2(1/z))]$, che è ovviamente irrisolvibile per via di $sin^2(infty)$.
Insomma, dovrei trovare $Res(1/(z^2sin(1/z)); 0)$ ma ignoro altre strade. Una volta scavalcato questo ostacolo, vi posterò i miei ragionamenti per la seconda domanda, ovvero per il residuo nel punto all'infinito.
Molte grazie.
Risposte
No, $z=0$ non è un polo... Anzi $z=0$ non è nemmeno una singolarità isolata (perchè? Leggi attentamente la risposta che ho dato nell'altro tuo thread), perciò non è classificabile.
Fai più attenzione.
Fai più attenzione.
"gugo82":
una singolarità si dice isolata se, in almeno un suo intorno, non cadono altri punti singolari
Se $z=0$ fosse una singolarità isolata, secondo la tua affermazione, non dovrebbero esserci altri punti singolari in un suo intorno. In termini spiccioli ciò equivarrebbe a non individuare altri punti singolari "vicini" a zero (nel mio caso)? Tento di spiegarmi meglio. L'altro eventuale punto singolare sarebbe $z=1/(kpi)$ (a proposito: questo, è o no singolare?), ma non mi sembra che si avvicini a zero. Ho detto per caso una sciocchezza?
Certo, i punti del tipo [tex]$z_k=\tfrac{1}{k\pi}$[/tex] ([tex]$k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$[/tex]) sono singolari ed isolati, quindi classificabili... Di che tipo di singolarità si tratta?
Per quanto riguarda [tex]$z_0=0$[/tex], chiediti: "Cosa succede a [tex]$\tfrac{1}{k\pi}$[/tex] quando mando [tex]$k\to \pm \infty$[/tex]?".
Ad ogni modo, lo studio della funzione complessa è la base di tutto; se non sai fare quello, dimenticati di fare il resto.
Prendi un buon libro di Analisi Complessa e leggiti la teoria; poi passa agli esercizi.
Alcuni libri te li ho segnalati nel file linkato nell'altro thread.
Per quanto riguarda [tex]$z_0=0$[/tex], chiediti: "Cosa succede a [tex]$\tfrac{1}{k\pi}$[/tex] quando mando [tex]$k\to \pm \infty$[/tex]?".
Ad ogni modo, lo studio della funzione complessa è la base di tutto; se non sai fare quello, dimenticati di fare il resto.
Prendi un buon libro di Analisi Complessa e leggiti la teoria; poi passa agli esercizi.
Alcuni libri te li ho segnalati nel file linkato nell'altro thread.
Dunque. Mi sono esercitato sul PDF che mi hai generosamente linkato. Vediamo se ho capito.
Le singolarità si individuano dove la funzione non è definita. Se io avessi avuto $f(z)=1/(z^2*sin(z))$, i punti singolari candidati sarebbero stati $z=0$ e $z=1/(kpi)$, ovvero i punti ove la funzione non è definita. Nel mio caso ($f(z)=1/(z^2*sin(1/z))$), però, in $z=0$ $sin(1/z)$ non è definita, quindi $z=0$ dovrebbe non essere una singolarità isolata (in tal caso, cosa sarebbe?). Intuitivamente, mi viene da pensare (mi auguro di non imprecare!) che le singolarità si debbano studiare solo sulla nostra funzione principale e non sulle sottofunzioni che la compongono, in quanto magari ne potrebbe venire influenzata la classificazione. Inoltre, mi verrebbe da aggiungere che $sin(1/z)$ non sia una funzione intera in quanto non olomorfa in tutto $CC$, e quindi, anche se non si tratta né di una costante né di un polinomio, certamente non possiede singolarità essenziali all'infinito.
Per quanto concerne invece il punto $z_k=1/(kpi)$, credo che sia un polo del primo ordine, poiché la derivata del denominatore nel punto già al primo ordine non si annulla. Dico bene?
Le singolarità si individuano dove la funzione non è definita. Se io avessi avuto $f(z)=1/(z^2*sin(z))$, i punti singolari candidati sarebbero stati $z=0$ e $z=1/(kpi)$, ovvero i punti ove la funzione non è definita. Nel mio caso ($f(z)=1/(z^2*sin(1/z))$), però, in $z=0$ $sin(1/z)$ non è definita, quindi $z=0$ dovrebbe non essere una singolarità isolata (in tal caso, cosa sarebbe?). Intuitivamente, mi viene da pensare (mi auguro di non imprecare!) che le singolarità si debbano studiare solo sulla nostra funzione principale e non sulle sottofunzioni che la compongono, in quanto magari ne potrebbe venire influenzata la classificazione. Inoltre, mi verrebbe da aggiungere che $sin(1/z)$ non sia una funzione intera in quanto non olomorfa in tutto $CC$, e quindi, anche se non si tratta né di una costante né di un polinomio, certamente non possiede singolarità essenziali all'infinito.
Per quanto concerne invece il punto $z_k=1/(kpi)$, credo che sia un polo del primo ordine, poiché la derivata del denominatore nel punto già al primo ordine non si annulla. Dico bene?
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