Calcolo dei residui
Salve a tutti! Stavo studiando controlli automatici, e non riesco a capire da dove esca fuori la formula per il calcolo dei residui.
Infatti, supponendo una funzione razionale
[tex]F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}[/tex]
con $n$ poli semplici, questa può essere scritta come
[tex]F(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{K_i}{(s-p_i)}[/tex]
Ee fin qui ci stiamo. Poi, stando al libro, si ha che
[tex]K_{i}=\left.(s-p_{i})\frac{N(s)}{D(s)}\right|_{s=p_{i}}[/tex]
Questa relazione da dove salta fuori??
Infatti, supponendo una funzione razionale
[tex]F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}[/tex]
con $n$ poli semplici, questa può essere scritta come
[tex]F(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{K_i}{(s-p_i)}[/tex]
Ee fin qui ci stiamo. Poi, stando al libro, si ha che
[tex]K_{i}=\left.(s-p_{i})\frac{N(s)}{D(s)}\right|_{s=p_{i}}[/tex]
Questa relazione da dove salta fuori??
Risposte
Se io ho:
$(N(s))/(D(s))=sum_(i=1)^n K_i/(s-p_i)$
Come faccio a trovare uno dei coefficienti $K_i$ ?
$(N(s))/(D(s))=sum_(i=1)^n K_i/(s-p_i)$
Come faccio a trovare uno dei coefficienti $K_i$ ?
Già so che sto per dire 1 cavolata, ma ci provo lo stesso...
Partendo da quanto hai detto tu, ottengo
[tex]\frac{N(s)}{D(s)}=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}+\frac{K_{i}}{s-p_{i}}+\sum_{j=i+1}^{n}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}[/tex]
quindi
[tex]K_{i}=\left(\frac{N(s)}{D(s)}-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}-\sum_{j=i+1}^{n}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}\right)\left(s-p_{i}\right)[/tex]
ovvero
[tex]K_{i}=\frac{N(s)}{D(s)}\left(s-p_{i}\right)-\left(\sum_{j=1}^{i-1}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}+\sum_{j=i+1}^{n}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}\right)\left(s-p_{i}\right)[/tex]
ma non mi sembra il risultato che avrei dovuto ottenere, quidni ho sicuramente sbagliato
Partendo da quanto hai detto tu, ottengo
[tex]\frac{N(s)}{D(s)}=\sum_{j=1}^{i-1}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}+\frac{K_{i}}{s-p_{i}}+\sum_{j=i+1}^{n}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}[/tex]
quindi
[tex]K_{i}=\left(\frac{N(s)}{D(s)}-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}-\sum_{j=i+1}^{n}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}\right)\left(s-p_{i}\right)[/tex]
ovvero
[tex]K_{i}=\frac{N(s)}{D(s)}\left(s-p_{i}\right)-\left(\sum_{j=1}^{i-1}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}+\sum_{j=i+1}^{n}\frac{K_{j}}{s-p_{j}}\right)\left(s-p_{i}\right)[/tex]
ma non mi sembra il risultato che avrei dovuto ottenere, quidni ho sicuramente sbagliato
Il procedimento è giusto...manca solamente il finale.
Ora, se ti fai tendere $s$ a $p_i$ il secondo fattore del secondo membro si annulla...ecco la formula che cercavi.
Ora, se ti fai tendere $s$ a $p_i$ il secondo fattore del secondo membro si annulla...ecco la formula che cercavi.
"enpires":
Salve a tutti! Stavo studiando controlli automatici, e non riesco a capire da dove esca fuori la formula per il calcolo dei residui.
Infatti, supponendo una funzione razionale
[tex]F(s)=\frac{N(s)}{D(s)}[/tex]
con $n$ poli semplici, questa può essere scritta come
[tex]F(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{K_i}{(s-p_i)}[/tex]
E fin qui ci stiamo. Poi, stando al libro, si ha che
[tex]K_{i}=\left.(s-p_{i})\frac{N(s)}{D(s)}\right|_{s=p_{i}}[/tex]
Questa relazione da dove salta fuori??
Prova a guardare un po' oltre la forma... Soprattutto se hai già studiato Analisi Complessa.
La sommatoria [tex]$F(s)=\sum_{i=1}^{n}\frac{K_i}{(s-p_i)}$[/tex] ti restituisce lo sviluppo in serie di Laurent di [tex]$F$[/tex] intorno ad ogni polo [tex]$p_j$[/tex]; in particolare l'addendo [tex]$\frac{K_j}{s-p_j}$[/tex] è la parte singolare di [tex]$F$[/tex] in [tex]$p_j$[/tex], mentre la somma [tex]$\sum_{i=1,\ldots ,n \text{ e } i\neq j} \frac{K_i}{s-p_i}$[/tex] è la parte regolare di [tex]$F$[/tex] (infatti tale somma è olomorfa in [tex]$p_j$[/tex]).
Ne viene che:
[tex]K_j=\text{Res}(F;p_j):=\lim_{s\to p_j} (s-p_j)F(s)=(s-p_j)\frac{N(s)}{D(S)}\Big|_{s=p_j}[/tex]
ove, ovviamente, la sostituzione [tex]$s=p_j$[/tex] va fatta dopo aver semplificato il fattore [tex]$(s-p_j)$[/tex] dal denominatore [tex]$D(s)$[/tex].
Grazie ad entrambi 
Ho finalmente capito il motivo Purtroppo ad analisi complessa ci ho dato giusto un occhiata di mia spontanea volontà, mo non ho le conoscenze necessarie per riuscire a seguire come si deve il ragionamento di Gugo82 
Comunque adesso provo a cercare di capire da dove si ricava la formula per i poli multipli, se non riesco torno a disturbarvi
grazie ancora!
Ho finalmente capito il motivo Purtroppo ad analisi complessa ci ho dato giusto un occhiata di mia spontanea volontà, mo non ho le conoscenze necessarie per riuscire a seguire come si deve il ragionamento di Gugo82 Comunque adesso provo a cercare di capire da dove si ricava la formula per i poli multipli, se non riesco torno a disturbarvi
grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo