Calcolo dei limiti con sviluppi di taylor o mcLauri

[luna921]

ho fatto questo esercizio ma non sono riuscito! mi potete farmi capire e spiegare se volete
si studi il limite
\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{log(cos^2(x)-4cos(x)+4)arccos(tan(x))}{cos(x+\frac{\pi}{3})tan(\frac{4\pi x^2}{x+4})} \)
grazie mile

[Black Magic]

ri-edit

Prova innanzitutto al primo ordine con McLaurin.

Differenzia la tangente a denominatore e il logaritmo a numeratore. Cosa ottieni?

[francicko]

$lim_(x->0)(log(1-sin^2(x)-4×sqrt (1-sin^2 (x))+4)×arccosx)/(cos((pi)/3)×(pi)x^2)$, essendo che
$sinx~x $, $arccos0=(pi)/2$, $cos(pi)/3=1/2$, sostituendo possiamo ricrivere il limite come:
$lim_(x->0)(log (1-x^2-4×sqrt (1-x^2)+4)×((pi)/2))/((1/2)×(pi)x^2)$
Essendo inoltre $sqrt (1-x^2)~(1-x^2/2) $ (che equivale allo sviluppo di taylor arrestato al primo termine) avremo ancora:
$lim_(x->0)(log (1-x^2-4×(1-x^2/2)+4)×((pi)/2))/((1/2)×(pi)x^2)=$
$lim_(x->0)(log(1-x^2-4+2x^2+4)×((pi)/2))/((1/2)×(pi)x^2)=$
$lim_(x->0)(log (1+x^2)×((pi)/2))/((1/2)×(pi)x^2)$, ed osservando
che, $log (1+x^2)~x^2$, avremo:
$lim_(x->0)(x^2((pi)/2))/(x^2((pi)/2))=1$.