Calcolo degli Integrali!
Ciao a tutti,.
Ho un problema con un integrale... Non riesco a trovare l'errore (dato che mi viene leggermente diverso dalla soluzione suppongo proprio che ci sian errore nella mia risoluzione solo che ho controllato e controllato e non riesco a capire
).
Dunque..
Essenzialmente mi ritrovo con tre integrali da svolgere (e sommare) al fine di normalizzare una funzione d'onda. Il primo dei tre è
$ 2int_(-infty)^(+infty)e^(-ax^2-ax_(0)^2)dx $ e questo l'ho risolto come
$ 2e^(-ax_(0)^2)int_(-infty)^(+infty)e^(-ax^2)dx=2e^(-ax_(0)^2)\sqrt(\pi/a) $ (integrale gaussiano).
Poi ci sono altri due integrali
$ int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2)e^(-ax_0^2)e^(+2ax x_0)dx=e^(-ax_0^2)int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2+2ax x_0)dx $
da cui, usando la formula
ottengo $ \sqrt(\pi/a)e^(-ax_0^2-x_0) $
l'ultimo integrale è simile
$ int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2)e^(-ax_0^2)e^(-2ax x_0)dx=e^(-ax_0^2)int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2-2ax x_0)dx $
ed è uguale a
$ \sqrt(\pi/a)e^(-ax_0^2-x_0) $
ora devo fare la somma dei tre
$ 2e^(-ax_0^2)\sqrt(\pi/a)+2\sqrt(\pi/a)e^(-ax_0^2-ax_0^2) $
$ 2e^(-ax_0^2)\sqrt(\pi/a)[1+e^(-ax_0^2)] $
La scrittura completa sarebbe
$ N^2[2e^(-ax_0^2)\sqrt(\pi/a)[1+e^(-ax_0^2)]]=1 $ che, risolvendo per N viene
$ N=1/\sqrt(2)(a/\pi)^(1/4)(e^(-ax_0^2))/(\sqrt(1+e^(-ax_0^2))) $ solo che il termine $ e^(-ax_0^2) $ a numeratore non dovrebbe esserci
Non capisco cosa non funzioni. Qualcuno mi darebbe una mano?
Grazie
Ho un problema con un integrale... Non riesco a trovare l'errore (dato che mi viene leggermente diverso dalla soluzione suppongo proprio che ci sian errore nella mia risoluzione solo che ho controllato e controllato e non riesco a capire
).Dunque..
Essenzialmente mi ritrovo con tre integrali da svolgere (e sommare) al fine di normalizzare una funzione d'onda. Il primo dei tre è
$ 2int_(-infty)^(+infty)e^(-ax^2-ax_(0)^2)dx $ e questo l'ho risolto come
$ 2e^(-ax_(0)^2)int_(-infty)^(+infty)e^(-ax^2)dx=2e^(-ax_(0)^2)\sqrt(\pi/a) $ (integrale gaussiano).
Poi ci sono altri due integrali
$ int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2)e^(-ax_0^2)e^(+2ax x_0)dx=e^(-ax_0^2)int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2+2ax x_0)dx $
da cui, usando la formula
ottengo $ \sqrt(\pi/a)e^(-ax_0^2-x_0) $
l'ultimo integrale è simile
$ int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2)e^(-ax_0^2)e^(-2ax x_0)dx=e^(-ax_0^2)int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2-2ax x_0)dx $
ed è uguale a
$ \sqrt(\pi/a)e^(-ax_0^2-x_0) $
ora devo fare la somma dei tre
$ 2e^(-ax_0^2)\sqrt(\pi/a)+2\sqrt(\pi/a)e^(-ax_0^2-ax_0^2) $
$ 2e^(-ax_0^2)\sqrt(\pi/a)[1+e^(-ax_0^2)] $
La scrittura completa sarebbe
$ N^2[2e^(-ax_0^2)\sqrt(\pi/a)[1+e^(-ax_0^2)]]=1 $ che, risolvendo per N viene
$ N=1/\sqrt(2)(a/\pi)^(1/4)(e^(-ax_0^2))/(\sqrt(1+e^(-ax_0^2))) $ solo che il termine $ e^(-ax_0^2) $ a numeratore non dovrebbe esserci
Non capisco cosa non funzioni. Qualcuno mi darebbe una mano?
Grazie
Risposte
Pardon, ho dimenticato di inserire la formula usata, ovvero:
$ int_(-infty)^(infty)e^(-\alpha^2z^2+\betaz)dz=\sqrt(\pi)/a e^(\beta^2/(4\alpha^2)) $
$ int_(-infty)^(infty)e^(-\alpha^2z^2+\betaz)dz=\sqrt(\pi)/a e^(\beta^2/(4\alpha^2)) $
Ciao Nattramn16,
Hai scritto la formula che hai usato, ma in realtà secondo me ne hai usata un'altra:
$int_(-infty)^(infty)e^(-\alpha z^2+\beta z) dz =\sqrt(\pi/\alpha)e^(\beta^2/(4\alpha))$
Per cui salvo errori mi risulta:
$int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2)e^(-ax_0^2)e^(+2ax x_0)dx = e^(-ax_0^2)int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2+2ax x_0)dx = e^(-ax_0^2) \sqrt(\pi/a) e^(ax_0^2) = \sqrt(\pi/a)$
e così via per gli altri integrali...
Hai scritto la formula che hai usato, ma in realtà secondo me ne hai usata un'altra:
$int_(-infty)^(infty)e^(-\alpha z^2+\beta z) dz =\sqrt(\pi/\alpha)e^(\beta^2/(4\alpha))$
Per cui salvo errori mi risulta:
$int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2)e^(-ax_0^2)e^(+2ax x_0)dx = e^(-ax_0^2)int_(-infty)^(infty)e^(-ax^2+2ax x_0)dx = e^(-ax_0^2) \sqrt(\pi/a) e^(ax_0^2) = \sqrt(\pi/a)$
e così via per gli altri integrali...
Grazie mille per la risposta
Però io la formula l'ho proprio riportata come era scritta sulla traccia d'esame (l'esercizio era di una traccia passata ovviamente)
Però io la formula l'ho proprio riportata come era scritta sulla traccia d'esame (l'esercizio era di una traccia passata ovviamente)
Attenzione, non ho scritto che la formula che hai riportato sia errata, ma devi stare attento al fatto che nei tuoi integrali hai $a$ e non $a^2$: quindi in pratica ti conviene fare uso della formula equivalente che ti ho scritto... 
Ahh.. non lo sapevo
Grazie mille.
Ma scusa (ultima domanda), se invece dovessi integrare
$ int_(-infty)^(infty)e^(-a/2x^2+ax x_0) dx $ come dovrei fare?
In sostanza mi sembrano tutti integrali ''fratelli'' tra di loro... la forma è quella. Ma la formula risolutiva come cambia?
Grazie mille.
Ma scusa (ultima domanda), se invece dovessi integrare
$ int_(-infty)^(infty)e^(-a/2x^2+ax x_0) dx $ come dovrei fare?
In sostanza mi sembrano tutti integrali ''fratelli'' tra di loro... la forma è quella. Ma la formula risolutiva come cambia?
"Nattramn16":
In sostanza mi sembrano tutti integrali ''fratelli'' tra di loro...
Infatti è proprio così...
Nel caso dell'ultimo integrale che hai scritto, basta che applichi la formula
$int_(-\infty)^(+\infty)e^(-\alpha x^2+\beta x) dx =\sqrt(\pi/\alpha)e^(\beta^2/(4\alpha))$
con $\alpha := a/2$ e $\beta := a x_0$, per cui si ha:
$int_{-\infty}^(+\infty)e^(-a/2x^2+ax x_0) dx = \sqrt{frac{2 \pi}{a}}e^{frac{a^2 x_0^2}{2a}} = \sqrt{frac{2 \pi}{a}}e^{frac{a x_0^2}{2}}$
okay ho capito !!!
Grazie!
!!!Grazie!
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