Calcolo baricentro di una curva

[maddiii]

Buongiorno a tutti!
Sono un po' confusa riguardo alla soluzione del seguente esercizio: "Calcolare il baricentro della curva regolare a tratti il cui sostegno coincide col perimetro del triangolo equilatero di vertici $A(-1/2,0) B(0,sqrt(3)/2) C(1/2,0)$".

La $x$ del baricentro è uguale a $0$ per simmetria.

Parametrizzo la curva nel seguente modo:
$\gamma(A->C)=(-1/2+t, 0)$ con $t \in(-1/2,1/2)$, $\gamma'(A->C)=(1, 0)$
$\gamma(C->B)=(1/2-1/2t, sqrt(3)/2t)$ con $t \in(0,1/2)$, $\gamma'(C->B)=(-1/2, sqrt(3)/2 )$
$\gamma(B->A)=(-1/2t, sqrt(3)/2-sqrt(3)/2t)$ con $t \in(-1/2,0)$, $\gamma'(B->A)=(-1/2, -sqrt(3)/2 )$

A questo punto calcolo $L(A->B), L(C->B), L(B->A)$ e ottengo in tutti e tre i casi $1$

Calcolo
$\int_(-1/2)^(1/2) 0 dt =0$

$\int_(0)^(1/2) sqrt(3)/2t (2) dt = sqrt(3)/8$ e cambio segno

$\int_(-1/2)^(0) (sqrt(3)/2- sqrt(3)/2t ) (2) dt = -3sqrt(3)/8$ e cambio segno

La $x$ del baricentro è uguale a $1/L \int_\gamma y ds$ ma il risultato non mi viene corretto, dove sbaglio??
Grazieeee!

[maddiii]

Fantastico!! Grazie!