Calcolo area superficie
Salve, ho un eserciizo in cui viene chiesto di calcolare l'area della porzione di piano passante per i punti (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3) e contenuta nel primo ottante.
Ora, ho considerato i 3 punti nel piano xyz, ed ho capito di dover praticamente considerare i 4 "triangolini" che formano la figura.
Considerando, però, ad esempio, il triangolino rivolto verso il basso, avrò le seguenti limitazioni riguardanti x e y:
$T1 = {(x,y,z)inR^3: 0<=x<=1, 0<=y<=2...}$
e z dovrebbe variare lungo la retta congiungente i 2 punti (1,0,0), (0,2,0), rispettivamente sull'asse x e y.
A questo punto, mi sorge la domanda: come ottenere l'equazione della retta passante per i 2 punti?
Spero che qualcuno possa aiutarmi a risolvere tale quesito.
Grazie ancora a chi risponderà
Ora, ho considerato i 3 punti nel piano xyz, ed ho capito di dover praticamente considerare i 4 "triangolini" che formano la figura.
Considerando, però, ad esempio, il triangolino rivolto verso il basso, avrò le seguenti limitazioni riguardanti x e y:
$T1 = {(x,y,z)inR^3: 0<=x<=1, 0<=y<=2...}$
e z dovrebbe variare lungo la retta congiungente i 2 punti (1,0,0), (0,2,0), rispettivamente sull'asse x e y.
A questo punto, mi sorge la domanda: come ottenere l'equazione della retta passante per i 2 punti?
Spero che qualcuno possa aiutarmi a risolvere tale quesito.
Grazie ancora a chi risponderà
Risposte
io direi di trovare direttamente l'equazione del piano, quindi questo si riduce a un problema di geometria. dopodichè non dovrebbero esserci problemi perchè viene un integrale di superficie.
per trovare l'equazione del piano chiamiamo A, B e C rispettivamente i punti (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3).
a noi bastano due vettori linearmente indipendenti, ad esempio A-B = (1,-2,0) e B-C = (0,2,-3), per generare un piano parallelo, che poi basta traslare opportunamente. allora il piano che cerchi è: $ a(1,-2,0) + b(0,2,-3) + (1,0,0) $ con a e b scalari. trovati la forma cartesiana, dopodichè riparametrizzi il piano nella forma (x, y, f(x,y)), poi dovresti saper proseguire.
per trovare l'equazione del piano chiamiamo A, B e C rispettivamente i punti (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3).
a noi bastano due vettori linearmente indipendenti, ad esempio A-B = (1,-2,0) e B-C = (0,2,-3), per generare un piano parallelo, che poi basta traslare opportunamente. allora il piano che cerchi è: $ a(1,-2,0) + b(0,2,-3) + (1,0,0) $ con a e b scalari. trovati la forma cartesiana, dopodichè riparametrizzi il piano nella forma (x, y, f(x,y)), poi dovresti saper proseguire.
"enr87":
io direi di trovare direttamente l'equazione del piano, quindi questo si riduce a un problema di geometria. dopodichè non dovrebbero esserci problemi perchè viene un integrale di superficie.
per trovare l'equazione del piano chiamiamo A, B e C rispettivamente i punti (1,0,0), (0,2,0), (0,0,3).
a noi bastano due vettori linearmente indipendenti, ad esempio A-B = (1,-2,0) e B-C = (0,2,-3), per generare un piano parallelo, che poi basta traslare opportunamente. allora il piano che cerchi è: $ a(1,-2,0) + b(0,2,-3) + (1,0,0) $ con a e b scalari. trovati la forma cartesiana, dopodichè riparametrizzi il piano nella forma (x, y, f(x,y)), poi dovresti saper proseguire.
ciao enr87, non ho ben capito 2 cose:
1)quando scrivi $ a(1,-2,0) + b(0,2,-3) + (1,0,0) $ quel $ (1,0,0) $ sarebbe la traslazione oppurtuna di cui parli poco prima? Se sì, in base a che criterio l'hai ricavata?
2)non so come passare dal piano che mi hai scritto tu alla sua forma cartesiana, purtroppo...infatti non ho ancora fatto l'esame di geometria e algebra quindi certe cose non mi vengono proprio immediate
1) quando gli scalari a e b sono nulli devi ottenere un punto del piano a tua scelta. io ho preso A, ma potevi prendere anche gli altri due
2) il sistema che ottieni dalla forma parametrica è questo:
[tex]\left\{ \begin{matrix} x = a + 1 \\ y = -2a + 2b \\ z = -3b \end{matrix}\right[/tex]
ora devi cercare, tramite combinazioni lineari, di far sparire i termini a e b; in pratica fai finta che siano le incognite: una volta determinate in funzione di x e y (prime due equazioni), le sostituisci all'interno dell'equazione con la z e ottieni così quella del piano.
per verificare di aver fatto correttamente, controlla che passi effettivamente per i tre punti A, B e C
2) il sistema che ottieni dalla forma parametrica è questo:
[tex]\left\{ \begin{matrix} x = a + 1 \\ y = -2a + 2b \\ z = -3b \end{matrix}\right[/tex]
ora devi cercare, tramite combinazioni lineari, di far sparire i termini a e b; in pratica fai finta che siano le incognite: una volta determinate in funzione di x e y (prime due equazioni), le sostituisci all'interno dell'equazione con la z e ottieni così quella del piano.
per verificare di aver fatto correttamente, controlla che passi effettivamente per i tre punti A, B e C
"enr87":
1) quando gli scalari a e b sono nulli devi ottenere un punto del piano a tua scelta. io ho preso A, ma potevi prendere anche gli altri due
2) il sistema che ottieni dalla forma parametrica è questo:
[tex]\left\{ \begin{matrix} x = a + 1 \\ y = -2a + 2b \\ z = -3b \end{matrix}\right[/tex]
ora devi cercare, tramite combinazioni lineari, di far sparire i termini a e b; in pratica fai finta che siano le incognite: una volta determinate in funzione di x e y (prime due equazioni), le sostituisci all'interno dell'equazione con la z e ottieni così quella del piano.
per verificare di aver fatto correttamente, controlla che passi effettivamente per i tre punti A, B e C
ok, ho capito entrambi i punti, grazie.
alla fine di questo procedimento, mi ritrovo un'espressione $z=$quantità, che sarà quindi l'equazione che posso usare per determinare la limitazione per z che mi mancava?
no, in quel modo tu ottieni il piano. le limitazioni te le hanno già date (il primo ottante)
[edit] scusa detto così mi ha confuso. fammi vedere cosa faresti di preciso per trovare la limitazione del dominio di integrazione.
[edit] scusa detto così mi ha confuso. fammi vedere cosa faresti di preciso per trovare la limitazione del dominio di integrazione.
"enr87":
no, in quel modo tu ottieni il piano. le limitazioni te le hanno già date (il primo ottante)
sì, ma io mi riferivo alla limitazione della z lungo i "triangolini";
per esempio, per il triangolino che ha le seguenti limitazioni:
$T1 = {(x,y,z)inR^3: 0<=x<=1, 0<=y<=2...}$, volevo ricercare la limitazione di z, che varia lungo la retta congiungente (1,0,0), (0,2,0).
Con i tuoi consigli, ricavando l'equazione del piano z=quantità, posso usare tale equazione per esprimere tale limitazione?
si ragiona così: tu vuoi integrare in dx e dy presumo, quindi devi cercare delle limitazioni nelle variabili x e y.
ora non ho l'immagine della situazione, ma se ti hanno chiesto di calcolare l'area del piano nel primo ottante, allora il piano deve essere "orientato" (passami il termine) in maniera tale che i piani xy, xz e yz ritaglino un triangolo su questo piano.
una volta determinate le limitazioni per x e y, quella su z viene di conseguenza, quindi non c'è bisogno di calcolarla. in più stai attento perchè come stai facendo è sbagliato: stai infatti calcolando la superficie sul rettangolo [0,1]x[0,2], invece è richiesto di farlo solo nel primo ottante. prova a pensare come fare per correggere e fammi sapere
ora non ho l'immagine della situazione, ma se ti hanno chiesto di calcolare l'area del piano nel primo ottante, allora il piano deve essere "orientato" (passami il termine) in maniera tale che i piani xy, xz e yz ritaglino un triangolo su questo piano.
una volta determinate le limitazioni per x e y, quella su z viene di conseguenza, quindi non c'è bisogno di calcolarla. in più stai attento perchè come stai facendo è sbagliato: stai infatti calcolando la superficie sul rettangolo [0,1]x[0,2], invece è richiesto di farlo solo nel primo ottante. prova a pensare come fare per correggere e fammi sapere
"enr87":
si ragiona così: tu vuoi integrare in dx e dy presumo, quindi devi cercare delle limitazioni nelle variabili x e y.
ora non ho l'immagine della situazione, ma se ti hanno chiesto di calcolare l'area del piano nel primo ottante, allora il piano deve essere "orientato" (passami il termine) in maniera tale che i piani xy, xz e yz ritaglino un triangolo su questo piano.
una volta determinate le limitazioni per x e y, quella su z viene di conseguenza, quindi non c'è bisogno di calcolarla. in più stai attento perchè come stai facendo è sbagliato: stai infatti calcolando la superficie sul rettangolo [0,1]x[0,2], invece è richiesto di farlo solo nel primo ottante. prova a pensare come fare per correggere e fammi sapere
aspetta, non ti seguo...ho riprodotto il mio disegno:
http://img213.imageshack.us/i/disegnop.jpg
per fare l'integrale di quella superficie, ho diviso il tutto in 4 triangolini;
in particolare, vorrei iniziare dal triangolo dove ho colorato di rosso, per poi fare un analogo ragionamento per gli altri.
Per quel dominio ho scritto le limitazioni seguenti:
${(x,y,z)inR^3: 0<=x<=1, 0<=y<=2...}$ e la z dovrebbe variare sulla retta che passa tra (1,0,0) e (0,2,0).
il link non è corretto, prova a hostarlo di nuovo o correggi il link
"enr87":
il link non è corretto, prova a hostarlo di nuovo o correggi il link
scusami, prima funzionava, ora l'ho ricaricata
http://img5.imageshack.us/img5/9639/disegnofv.jpg
bene, la parte in rosso ti dice dove devi prendere x e y. anche qui serve un po' di geometria, ma niente di particolarmente difficile
"enr87":
bene, la parte in rosso ti dice dove devi prendere x e y. anche qui serve un po' di geometria, ma niente di particolarmente difficile
sì, infatti le limitazioni per x e y sono chiarissime, il problema risiede nella limitazione della z lungo la retta
ma tu non devi limitare z, tant'è vero che z non è nemmeno una variabile di integrazione. z è "automaticamente" limitato perchè hai definito e parametrizzato la superficie da integrare. devi stare attento a x e y.
"enr87":
ma tu non devi limitare z, tant'è vero che z non è nemmeno una variabile di integrazione. z è "automaticamente" limitato perchè hai definito e parametrizzato la superficie da integrare. devi stare attento a x e y.
e quindi, per poter fare l'integrale sui "triangolini", per questo dominio e per i rimanenti 3, mi bastano solo 2 variabili e non 3?
facciamo un passo indietro. tu vuoi calcolare l'area di tutto il solido delimitato nel primo ottante, o solo della porzione di piano messo "in obliquo"? in ogni caso prima troviamo quella della porzione di piano, poi per il resto (se occorre) applichi le formule di geometria per le aree dei triangoli: i lati li ricavi facilmente!
qual è il dominio di integrazione della porzione di piano? se non fosse chiaro, devi guardare quella parte rossa, che non è altro che l'ombra della superficie proiettata sul piano xy. in altri termini come fai ad esprimere formalmente che x e y stanno in quel triangolo rosso?
qual è il dominio di integrazione della porzione di piano? se non fosse chiaro, devi guardare quella parte rossa, che non è altro che l'ombra della superficie proiettata sul piano xy. in altri termini come fai ad esprimere formalmente che x e y stanno in quel triangolo rosso?
l'esercizio mi chiede di calcolare l'area di tutto il solido, solo che io, per "semplicità", avevo pensato di "spaccarlo" in più triangolini, di cui calcolo singolarmente l'area, per poi fare la somma ed ottenere l'area di tutto il solido in figura.
la parte rossa l'ho messa io "per esempio", cioè volevo dire, sostanzialmente, di partire dal quel triangolino, calcolarne le limitazioni delle variabili, calcolarne l'integrale, per poi procedere con gli altri triangoli.
formalmente, x e y, nel triangolino rosso, li esprimo come $0<=x<=1, 0<=y<=2$, cosa che ho visto dal disegno che ti ho postato poco su
la parte rossa l'ho messa io "per esempio", cioè volevo dire, sostanzialmente, di partire dal quel triangolino, calcolarne le limitazioni delle variabili, calcolarne l'integrale, per poi procedere con gli altri triangoli.
formalmente, x e y, nel triangolino rosso, li esprimo come $0<=x<=1, 0<=y<=2$, cosa che ho visto dal disegno che ti ho postato poco su
sì il fatto di spaccarlo è corretto, ora ho capito cosa intendevi. ma non ha senso che ti metti a calcolare con gli integrali l'area di tutti i triangolini: alla fine base e altezza li trovi comodamente per tutti tranne che per il triangolino sul piano obliquo, quindi il consiglio è di usare l'integrale di superficie solo per quello.
"enr87":
sì il fatto di spaccarlo è corretto, ora ho capito cosa intendevi. ma non ha senso che ti metti a calcolare con gli integrali l'area di tutti i triangolini: alla fine base e altezza li trovi comodamente per tutti tranne che per il triangolino sul piano obliquo, quindi il consiglio è di usare l'integrale di superficie solo per quello.
sì, ripensandoci hai ragione, per 3 triangoli basta calcolarne $(B*h)/2$ per avere l'area, mentre per quello più "esterno" (chiamiamolo T), la facciata insomma, potrei usare la formula per il calcolo dell'area di una superficie...
essendo la formula $intint_{T} sqrt(A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v) d u d v)$, per poter ricavare i minori di ordine 2 devo poter parametrizzare tale superficie in una forma del tipo $phi(u,v)=(phi_1(u,v),phi_2(u,v),phi_3(u,v)).
secondo te il ragionamento è corretto?
su internet ho visto una parametrizzazione di un triangolo del tipo:
$x = alpha a + beta b + gamma c $tale che $alpha, beta, gamma >=0 $e$ alpha + beta + gamma = 1
ma puoi usare la parametrizzazione in forma cartesiana visto che ce l'hai gratis, avendo trovato l'equazione del piano. non complicarti la vita alla ricerca di altre parametrizzazioni, e non usare formule su formule che non sai giustificare.
il problema è definire il dominio di integrazione di quella superficie che ti resta, trovato quello devi solo fare un integrale doppio
il problema è definire il dominio di integrazione di quella superficie che ti resta, trovato quello devi solo fare un integrale doppio
"enr87":
ma puoi usare la parametrizzazione in forma cartesiana visto che ce l'hai gratis, avendo trovato l'equazione del piano. non complicarti la vita alla ricerca di altre parametrizzazioni, e non usare formule su formule che non sai giustificare.
il problema è definire il dominio di integrazione di quella superficie che ti resta, trovato quello devi solo fare un integrale doppio
quindi a partire da quell'equazione $z=$equazione del piano che mi hai mostrato come ricavare, basta trovarsi la forma cartesuaba $phi(u,v)=(phi_1(u,v),phi_2(u,v),phi_3(u,v))$ e risolvere, banalmente, l'integrale doppio relativo a tale piano, con delle limitazioni del dominio ${0<=x<=1, o<=y<=2}$, giusto?
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