Calcolo Area e Integrale
Salve a tutti sto procedendo nello studio di Anali II e sono un po' fermo su un esempio
Allora riporto l'esempio del libro di testo che sto utilizzando
Sia D il dominio normale rispetto all'asse x r dato in fugura
D è delimitato dall'asse delle x e dalle circonferenze $x^2 + y^2 =1$ e $x^2 +y^2 -2x =0$
Indichiamo con E il dominio dato dall'intersezione dei due semicerchi e poniamo $C = D uu E $
poiché C è un semicerchio di raggio 1, abbiamo che $ pi /2 = m(C) = m(D) + m(E) $
quindi $m(D) = pi /2 - m(E)$
Il problema sta quindi nel ricavare $m(E) $
Due sono le cose che non ho capito, uno è perché per ricavare l'area $E$ mi dice il testo che il dominio è normale rispetto a y, quando mi sembra più orientato rispetto a x , qui non ho capito bene, in pratica la $x$ varia tra le due funzioni di $y$ ?
La seconda cosa è come ricava le due inverse infatti il dominio lo esprime come
$ E = {(x,y) : 0<=y <=sqrt(3)/2, 1-sqrt(1-y^2) <=x<= sqrt(1-y^2) } $
Per ricavare la funzione di destra ho fatto questi passaggi : $x^2 +y^2 =1 -> x^2 = 1 - y^2 -> x = sqrt(1-y^2)$
Praticamente è l'inversa della funzione rispetto a $y = sqrt(1-x^2) $ anche se non ho verificato che sia invertibile però data solo nel I° quadrante dovrebbe esserlo
La seconda funzione non ho capito come la ricava
Nel I° quadrante non dovrebbe essere invertibile dato che non è iniettiva però sicuramente effettua una restrizione del dominio che non ho capito.
Questi sono i passaggi che ho fatto però non ho idea di come si possa svolgere
$ x^2 + y^2 -2x =0$ -> $x^2 = 2x -y^2$ già questo passaggio non mi pare corretto
Allora riporto l'esempio del libro di testo che sto utilizzando
Sia D il dominio normale rispetto all'asse x r dato in fugura
D è delimitato dall'asse delle x e dalle circonferenze $x^2 + y^2 =1$ e $x^2 +y^2 -2x =0$
Indichiamo con E il dominio dato dall'intersezione dei due semicerchi e poniamo $C = D uu E $
poiché C è un semicerchio di raggio 1, abbiamo che $ pi /2 = m(C) = m(D) + m(E) $
quindi $m(D) = pi /2 - m(E)$
Il problema sta quindi nel ricavare $m(E) $
Due sono le cose che non ho capito, uno è perché per ricavare l'area $E$ mi dice il testo che il dominio è normale rispetto a y, quando mi sembra più orientato rispetto a x , qui non ho capito bene, in pratica la $x$ varia tra le due funzioni di $y$ ?
La seconda cosa è come ricava le due inverse infatti il dominio lo esprime come
$ E = {(x,y) : 0<=y <=sqrt(3)/2, 1-sqrt(1-y^2) <=x<= sqrt(1-y^2) } $
Per ricavare la funzione di destra ho fatto questi passaggi : $x^2 +y^2 =1 -> x^2 = 1 - y^2 -> x = sqrt(1-y^2)$
Praticamente è l'inversa della funzione rispetto a $y = sqrt(1-x^2) $ anche se non ho verificato che sia invertibile però data solo nel I° quadrante dovrebbe esserlo
La seconda funzione non ho capito come la ricava
Nel I° quadrante non dovrebbe essere invertibile dato che non è iniettiva però sicuramente effettua una restrizione del dominio che non ho capito.
Questi sono i passaggi che ho fatto però non ho idea di come si possa svolgere
$ x^2 + y^2 -2x =0$ -> $x^2 = 2x -y^2$ già questo passaggio non mi pare corretto
Risposte
Ciao dome88,
Mi pare una semplice equazione di secondo grado:
$x^2 + y^2 - 2x = 0 $
$x^2 - 2x + y^2 = 0 $
Per cui applicando la formula ridotta si ha:
$ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - y^2} $
Siamo nel primo quadrante ove $x > 0 $ e $y > 0 $ quindi...
Mi pare una semplice equazione di secondo grado:
$x^2 + y^2 - 2x = 0 $
$x^2 - 2x + y^2 = 0 $
Per cui applicando la formula ridotta si ha:
$ x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - y^2} $
Siamo nel primo quadrante ove $x > 0 $ e $y > 0 $ quindi...
Ah giusto basta fare svolgere l'equazione di secondo grado , però prende come soluzione $1-sqrt(1-y^2)$ quindi dovrei prende la funzione che ha valori nel I° quadrante?
Beh, se ci fai caso deve essere $x < 1 $, quindi è chiaro che la scelta deve ricadere sulla soluzione negativa dato che l'altra sarebbe sicuramente maggiore di $1 $...
"pilloeffe":
Beh, se ci fai caso deve essere $x < 1 $, quindi è chiaro che la scelta deve ricadere sulla soluzione negativa dato che l'altra sarebbe sicuramente maggiore di $1 $...
Grazie mille chiarissimo e gentilissimo
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