Calcolo area di una superfice: algoritmo risolutivo?
Come da titolo, ho a che fare con il seguente esercizio:
Calcolare l'area della parte di superfice del paraboloide $\ z= (x^2 + y^2)/2 $che si trova all'esterno del cono $\ z=sqrt(x^2 + y^2) $
Scusate l'ignoranza ma mi chiedevo se questi esercizi si fanno sempre allo stesso modo, ovvero se c'è una procedura ben precisa per risolverli. Se potete indicarmi qualche risorsa su esercizi simili svolti o magari dirmi come impostare quest'esercizio ve ne sarei grato, cordiali saluti.
Calcolare l'area della parte di superfice del paraboloide $\ z= (x^2 + y^2)/2 $che si trova all'esterno del cono $\ z=sqrt(x^2 + y^2) $
Scusate l'ignoranza ma mi chiedevo se questi esercizi si fanno sempre allo stesso modo, ovvero se c'è una procedura ben precisa per risolverli. Se potete indicarmi qualche risorsa su esercizi simili svolti o magari dirmi come impostare quest'esercizio ve ne sarei grato, cordiali saluti.
Risposte
Nessuno può darmi qualche dritta? Sapete che non sono uno che posta esercizi tanto per farseli svolgere, ho postato molti esercizi in cui riportavo quasi lo svolgimento completo, ma qui ho proprio lacune concettuali...
Va bene, agomath, lo sappiamo che non sei uno che chiede la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio ma lo stesso stai facendo un "UP" prima di 24 ore dall'ultimo post. Evita, specie in periodi di esame come questo: se facessero tutti così, addio stanza di Analisi.
Comunque, in questo caso parti subito da un disegno. Cerca di capire che cosa stai calcolando. In questo modo diventa chiaro qual è il miglior approccio alla soluzione. Io direi ad esempio che ti conviene calcolare questo volume per differenza: prima calcoli il volume sotto il cono, poi quello sotto il paraboloide, infine concludi per sottrazione. In entrambi i casi si tratta di risolvere un integrale doppio, dotato però di una evidente simmetria che ti conviene sfruttare.
Comunque, in questo caso parti subito da un disegno. Cerca di capire che cosa stai calcolando. In questo modo diventa chiaro qual è il miglior approccio alla soluzione. Io direi ad esempio che ti conviene calcolare questo volume per differenza: prima calcoli il volume sotto il cono, poi quello sotto il paraboloide, infine concludi per sottrazione. In entrambi i casi si tratta di risolvere un integrale doppio, dotato però di una evidente simmetria che ti conviene sfruttare.
Hai ragione dissonance, scusami.
Ma quando hai scritto volume intendevi area?
Ma quando hai scritto volume intendevi area?
No, intendevo che ho sbagliato a leggere... 
Avevo capito che dovevi calcolare il volume, mannaggia. E come ti sarai accorto calcolare quel volume è davvero una fesseria.
Invece per l'area devi fare un discorso diverso. Il modo più generale è quello di calcolare l'integrale superficiale (qui [tex]\Sigma[/tex] è la porzione di superficie da misurare)
[tex]$ \iint_{\Sigma} dS[/tex];
siccome conosci una parametrizzazione di [tex]\Sigma[/tex], questa (perché?):
[tex]$\begin{cases} x=t \\ y=s \\ z=\frac{t^2+s^2}{2} \end{cases},\quad t^2+s^2 \le 1;[/tex]
puoi usarla per calcolarti il [tex]dS[/tex] (qui trovi delle istruzioni) e svolgere l'integrale.
In generale ti lascio un link
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/
che ti potrebbe interessare visto che senti di avere lacune su questi argomenti. Non prenderlo come un manuale di teoria però. Quelle lezioni CVT sono un utilissimo strumento per allenare l'intuizione e capire come procedere "in pratica", ma dal punto di vista teorico sono piuttosto "urang-utang".
Avevo capito che dovevi calcolare il volume, mannaggia. E come ti sarai accorto calcolare quel volume è davvero una fesseria. Invece per l'area devi fare un discorso diverso. Il modo più generale è quello di calcolare l'integrale superficiale (qui [tex]\Sigma[/tex] è la porzione di superficie da misurare)
[tex]$ \iint_{\Sigma} dS[/tex];
siccome conosci una parametrizzazione di [tex]\Sigma[/tex], questa (perché?):
[tex]$\begin{cases} x=t \\ y=s \\ z=\frac{t^2+s^2}{2} \end{cases},\quad t^2+s^2 \le 1;[/tex]
puoi usarla per calcolarti il [tex]dS[/tex] (qui trovi delle istruzioni) e svolgere l'integrale.
In generale ti lascio un link
http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/
che ti potrebbe interessare visto che senti di avere lacune su questi argomenti. Non prenderlo come un manuale di teoria però. Quelle lezioni CVT sono un utilissimo strumento per allenare l'intuizione e capire come procedere "in pratica", ma dal punto di vista teorico sono piuttosto "urang-utang".
Grazie Dissonance, vedrò di meditarci su...
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