Calcolo area della porzione di piano...

[carmelo811]

ciao a tutti, in generale so fare questi esercizi ma in alcuni ho un dubbio che magari voi potreste aiutarmi a risolvere. Vi posto gli esercizi.

Calcolare:
1) L’area della porzione di piano limitata del primo quadrante racchiusa tra la retta di equazione $y − x = 0$, la curva di equazione $x^2y = 1$ e la retta di equazione $x = 2$.
2) L’area della porzione di piano limitata del primo quadrante racchiusa tra la retta di equazione $y − x = 1$, l’iperbole di equazione $xy = 1$ e la retta di equazione $x = 3$.
3) L’area della porzione di piano limitata dalle due sinusoidi di equazione $y = −sin x, y = sin x$ e dalle due rette di equazione $x = −pi/2$ ed $ x = pi/2$.

In particolare:
- Nei primi due esercizi di quali funzioni devo fare l'integrale?
- Per il terzo esercizio (banale), mi chiedevo se c'era qln volenteroso che mi confermava il risultato, $0$.

Grazie mille a tutti e....buona cena!

[_nicola de rosa]

"carmelo81":ciao a tutti, in generale so fare questi esercizi ma in alcuni ho un dubbio che magari voi potreste aiutarmi a risolvere. Vi posto gli esercizi.

Calcolare:
1) L’area della porzione di piano limitata del primo quadrante racchiusa tra la retta di equazione $y − x = 0$, la curva di equazione $x^2y = 1$ e la retta di equazione $x = 2$.
2) L’area della porzione di piano limitata del primo quadrante racchiusa tra la retta di equazione $y − x = 1$, l’iperbole di equazione $xy = 1$ e la retta di equazione $x = 3$.
3) L’area della porzione di piano limitata dalle due sinusoidi di equazione $y = −sin x, y = sin x$ e dalle due rette di equazione $x = −pi/2$ ed $ x = pi/2$.

In particolare:
- Nei primi due esercizi di quali funzioni devo fare l'integrale?
- Per il terzo esercizio (banale), mi chiedevo se c'era qln volenteroso che mi confermava il risultato, $0$.

Grazie mille a tutti e....buona cena!

Ti confermo che il terzo integrale è nullo.

Sui primi due devi innanzitutto farti un grafico, ed è semplice farlo viste le funzioni in gioco. Poi trova le intersezioni tra le curve e le rette richieste.
Dopo aver fatto i grafici noterai che:
1) L'area sottesa è data dalla somma di due aree: quella di un triangolo rettangolo isoscele con cateti unitari cui va aggiunta l'area sottesa dalla curva $x^2y=1$ nell'intervallo $[,1,2]$;
2) L'area da trovare è la somma dell'area di un trapezio rettangolo di basi pari a $B_m=1,B_M=(sqrt(5)+1)/2$ ed altezza pari a $h=(sqrt(5)-1)/2$ cui va aggiunta l'area sottesa dalla curva $xy=1$ nell'intervallo $[(sqrt(5)-1)/2,3]$

Se ci sono dubbi, ponili che cercherò di risolverli.

[gugo82]

"carmelo81":3) L’area della porzione di piano limitata dalle due sinusoidi di equazione $y = −sin x, y = sin x$ e dalle due rette di equazione $x = −pi/2$ ed $ x = pi/2$.
[...]
- Per il terzo esercizio (banale), mi chiedevo se c'era qln volenteroso che mi confermava il risultato, $0$.

Grazie mille a tutti e....buona cena!

Mi pare strano che l'area di un sottoinsieme del piano con tanti punti interni sia $0$: infatti, se un insieme del piano ha almeno un punto interno, esso contiene un rettangolo e quindi la sua area non può essere nulla (Teoria Elementare della Misura di Jordan, sigh...).

Ho più il sospetto che sia $4\int_0^(pi/2)"sin"xdx$, non trovate?

[carmelo811]

Sono daccordo, risulta $4$...

[_nicola de rosa]

"carmelo81":Sono daccordo, risulta $4$...

si, chiedo venia, l'integrale fa $4$. Infatti
$I=int_{0}^{pi/2}(sinx-(-sinx))dx+int_{-pi/2}^{0}(-sinx-sinx)dx=2int_{0}^{pi/2}sinx dx-2int_{-pi/2}^{0}sinx dx=$
$=2int_{0}^{pi/2}sinx dx+2int_{0}^{pi/2}sinx dx=4int_{0}^{pi/2}sinx dx=4$

Il mio errore è stato quello di considerare inizialmente la funzione da integrare come $2sin(x)$ in tutto $[-pi/2,pi/2]$ cosa che non è così come dimostrato