Calcolo area del grafico tramite integrale

[emanuelemorleo]

Buongiorno, mi potreste spiegare i passaggi per risolvere questo integrale definito tra -2 e 3?

f(x)=(x-1)/(x^2+x+1)

?

[pilloeffe]

Ciao Emanuelemorleo90,

Risolverei preventivamente l'integrale indefinito:

$int frac{x - 1}{x^2+x+1} dx = 1/2 int frac{2x - 2}{x^2+x+1} dx = 1/2 int frac{2x + 1 - 3}{x^2+x+1} dx = $
$ = 1/2 int frac{2x + 1}{x^2+x+1} dx - 3/2 int frac{1}{x^2+x+1} dx = 1/2 ln(x^2 + x + 1) - 3/2 int frac{1}{(x + 1/2)^2+ 3/4} dx =$
$ = 1/2 ln(x^2 + x + 1) - 3/2 int frac{1}{(x + 1/2)^2+ (sqrt{3}/2)^2} dx $

A questo punto dovresti riuscire a proseguire...

[emanuelemorleo]

Ok adesso l'integrale lo posso semplificare perchè se non sbaglio questo integrale sarebbe la formula di integrazione con l'arcotangente giusto?

[pilloeffe]

Esatto, ponendo $t := x + 1/2 $ alla fine dovresti pervenire al risultato seguente:

$ int frac{x - 1}{x^2+x+1} dx = 1/2 ln(x^2 + x + 1) - sqrt{3} arctan(frac{2x + 1}{sqrt{3}}) + c $

da cui poi è semplice calcolarsi l'integrale definito proposto inizialmente.

[emanuelemorleo]

grazie mille come sempre gentilissimo <3