Calcolo area con int superficie

[Cix084]

Salve ragazzi.
Mi occorre il vostro aiuto. Devo risolvere questo esercizio
Calcola l'area della superficie $ z = 1 + 2x^3 + y $ che si proietta sul dominio $ D = {(x,y)in R^2:0<= x <= 1, 0<= y<= x^3} $
Nei miei passaggi ottengo un integrale non proprio semplice.
mi mettete sulla strada giusta?
Grazie

[Brancaleone1]

Ciao Cix084.
Probabilmente sono io che sto perdendo colpi, ma l'integrale dovrebbe essere molto semplice da risolvere:

$int_0^1 [int_0^(x^3)(1+2x^3+y)text(d)y]text(d)x$

[billyballo2123]

A me risulta
\[
\sqrt{2}\int_0^1\int_0^{x^3}\sqrt{1+18y^4}dydx.
\]
Però non so come si possa risolvere.

[Cix084]

non ho calcolato semplicemente l'integrale doppio perchè così facendo troverei un volume, se non cado in errore. anche a me viene un integrale difficile da risolvere. per questo credo ci sia un metodo da seguire che ignoro

[Brancaleone1]

Giusto, tu vuoi l'area, non il volume. Chiedo venia

[coffee2]

@Cix084: scrivi l'integrale che hai ottenuto e vediamo se sappiamo calcolarlo

[Cix084]

essendo la funzione di classe $ C^1 $ , ho scritto la formula risolutiva per il calcolo dell'area nella forma:
$ A=int int_(D)^() sqrt(1+((partial^1 f)/(partial x^1) )^2+ ((partial^1 f)/(partial y^1) )^2) dx dy $
ottenendo l'integrale
$ int int_(D)^() sqrt(36x^4+2) dx dy $ da cui

$ int_(0)^(1)[ int_(0)^(x^3)sqrt(36x^4+2) dy]dx = int_(0)^(1) x^3(sqrt(36x^4+2))dy= $
$ 1/144int_(0)^(1) 144x^3(sqrt(36x^4+2)) dy $ =
$ sqrt(2)/108(19sqrt(19) -1) $
mentre scrivevo i miei passaggi, ho avuto un'illuminazione e sono arrivato a questo risultato!
Sarà giusto?
grazie

[coffee2]

Negli ultimi due passaggi quel $dy$ sarà in realtà un $dx$