Calcolo area con formula di Gauss Green
Salve a tutti, vorrei chiedervi una mano su un esercizio.
Devo calcolare l'area della regione compresa tra due curve:
1) retta $y=1$
2) curva in forma parametrica
$\{ (x=3t -sin(t)),(y=1-sin(2t)) :}$
con $t in [0, pi/2]$
Per prima cosa ho usato la formula di G-G per il calcolo dell'area sulla curva parametrica:
$1/2 int_{0}^{pi/2} (3t-3sin(t))(-2cos(2t)) - (1-sin(2t))(3-3cos(t))$
e risolvo l'integrale.
A questo punto ho qualche dubbio sulla seconda parte: devo fare lo stesso anche per la retta e sommarla all'integrale precedentemente calcolato?
Ho provato ad impostare l'integrale anche per la retta ma sono molto dubbioso sulla sua correttezza:
$1/2 int_{0}^{(3 pi -6)/2}x*0 - (1*1)$
Ho anche qualche dubbio rispetto agli estremi di integrazione su ques'ultimo integrale. Ho pensato di sostituire gli estremi tra cui varia $t$ all'interno delle equazioni della curva parametrica, ottenendo:
$\{(x(0)=0),(y(0)=1):}$
$\{(x(pi/2)=(3 pi -6)/2),(y(pi/2)=1):}$
Ho molti dubbi però. Ho provato a cercare esercizi simili ma si trovano perlopiù esercizi che usano "l'altra formula" di Gauss-Green e il mio professore non fornisce esericizi svolti o soluzioni.
Che ne dite? Può funzionare come ragionamento? Ci sono errori?
Grazie!
Devo calcolare l'area della regione compresa tra due curve:
1) retta $y=1$
2) curva in forma parametrica
$\{ (x=3t -sin(t)),(y=1-sin(2t)) :}$
con $t in [0, pi/2]$
Per prima cosa ho usato la formula di G-G per il calcolo dell'area sulla curva parametrica:
$1/2 int_{0}^{pi/2} (3t-3sin(t))(-2cos(2t)) - (1-sin(2t))(3-3cos(t))$
e risolvo l'integrale.
A questo punto ho qualche dubbio sulla seconda parte: devo fare lo stesso anche per la retta e sommarla all'integrale precedentemente calcolato?
Ho provato ad impostare l'integrale anche per la retta ma sono molto dubbioso sulla sua correttezza:
$1/2 int_{0}^{(3 pi -6)/2}x*0 - (1*1)$
Ho anche qualche dubbio rispetto agli estremi di integrazione su ques'ultimo integrale. Ho pensato di sostituire gli estremi tra cui varia $t$ all'interno delle equazioni della curva parametrica, ottenendo:
$\{(x(0)=0),(y(0)=1):}$
$\{(x(pi/2)=(3 pi -6)/2),(y(pi/2)=1):}$
Ho molti dubbi però. Ho provato a cercare esercizi simili ma si trovano perlopiù esercizi che usano "l'altra formula" di Gauss-Green e il mio professore non fornisce esericizi svolti o soluzioni.
Che ne dite? Può funzionare come ragionamento? Ci sono errori?
Grazie!
Risposte
Ciao, prova a disegnare la curva su un grafico e poi disegna il verso antiorario. Poi spezza l'integrale in 2 integrali curvilinei, tali che la prima curva è quella gia parametrizzata che hai fatto, la seconda invece è la curva $y=1$, attento però, cosa succede se percorri questa curva? La $x$ come varia? non puoi semplicemente parametrizzare la curva come $y=1$, altrimenti ogni $x$ sarebbe come se fosse sulla curva e non è vero...Prova a pensarci e poi scrivi...
a me risulta che l'area di un dominio $D$ si può calcolare semplicemente con la formula $ int_(+FD)x dy $
quindi il primo integrale dovrebbe essere
$ int_(0)^(pi/2) (3t-sint)(-2cos2t)dt $
poi,è chiaro che dovresti calcolare anche l'integrale lungo il segmento appartenente alla retta $y=1$,ma in questo caso ti è risparmiata la fatica perchè è nullo in quanto $y$ è costante
quindi il primo integrale dovrebbe essere
$ int_(0)^(pi/2) (3t-sint)(-2cos2t)dt $
poi,è chiaro che dovresti calcolare anche l'integrale lungo il segmento appartenente alla retta $y=1$,ma in questo caso ti è risparmiata la fatica perchè è nullo in quanto $y$ è costante
"stormy":
a me risulta che l'area di un dominio $D$ si può calcolare semplicemente con la formula $ int_(+FD)x dy $
Giustissimo, in effetti mi risparmio un po' di calcoli. Non riesco però a capire se posso effettivamente scrivere, per la retta, un integrale del tipo:
$int xdy$ = $int x*0$
perchè mi pare di aver capito dalla risposta di asker993 che questo tipo di parametrizzazione non vada bene.
Effettivamente però gli estremi vanno al contrario sull'integrale della retta in modo tale che riesca a tenermi l'area a sinistra del bordo.
una parametrizzazione del segmento è
$x=t$
$y=1$
con $t in [0,3/2pi-1]$
che ti farebbe percorrere il segmento in senso orario
quindi,se l'integrale non fosse stato nullo avresti dovuto cambiarli il segno
$x=t$
$y=1$
con $t in [0,3/2pi-1]$
che ti farebbe percorrere il segmento in senso orario
quindi,se l'integrale non fosse stato nullo avresti dovuto cambiarli il segno
"stormy":
$t in [0,3/2pi-1]$
Uhm...sono confuso. Come hai fatto a trovare $3/2pi-1$?
ho sostituito $pi/2$ nella formula della $x$
Ah perfetto! Ero dubbioso perchè il mio risultato era diverso. Colpa mia, ho scritto sbagliato... però il concetto è quello!
Grazie!
Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo