Calcolare Volume

[Spire]

Ciao a tutti.
Devo trovare questo volume:

$V= {(x,y,z) in RR^3 : 25>=x^2+y^2+z^2, x^2+y^2>=16, z<=1}$

Per quello che so, devono essere verificate tutte e 3 le disequazioni e il mio volume è:

$int int int_V dx dy dz $
Quindi ho ragionato in questo modo:

$16<=x^2+y^2<=25-z^2$
E mi sono calcolato l'integrale doppio in xy con le coordinate polari:

$x= rho cos Theta$
$y= rho sin Theta$
con $rho= [4, sqrt(25-z^2)]$ e $Theta = [0, 2pi]$

Alla fine ottengo un integrale in $dz$ ma non so riesco a calcolarmi gli estremi...
ho pensato di fare
$z^2<= 25-(x^2+y^2)$
e di sostituire $x^2+y^2=16$ e mi viene $-3<=z<=3$
ma dato che $z<=1$:
$-3<=z<=1$ ?!?

Help
Esiste, c'è un metodo più veloce o semplice del mio? (Sono alle prime armi con i Volumi...)
La professoressa diceva che era più intuitivo se utilizzavo le figure ma a me fanno incasinare tutto e basta

Grazie in anticipo

[_Tipper]

Secondo me va bene, perché

$\int \int \int_{V} dxdydz = \int_{B} (\int \int_{A} dxdy)dz$

dove

$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 16 \le x^2 + y^2 \le 25 - z^2\}$

e

$B = \{z \in \mathbb{R} : 16 \le 25 - z^2, z \le 1\}$

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Arrivo nel prossimo post

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Credo che tu ne abbia beccato uno non del tutto facile (a meno che io non veda la soluzione breve).

Direi che immaginarti come è fatto codesto solido è davvero davvero d'aiuto. Si tratta di questo: immaginati (in un riferimento cartesiano tridimensionale Oxyz, dove z è l'asse verticale) una sfera (di centro l'origine) bucata in mezzo da un cilindro verticale (il centro della cui circonferenza di base appartiene all'asse z), e taglia orizzontalmente un po' sopra l'equatore. La parte sotto è il solido di cui vuoi sapere il volume.

Ora continuando ad immaginartelo, vedrai bene che è simmetrico rispetto all'asse z.

Pongo per esempio (non ricordo se è proprio questa la formulazione, ma non importa):

$x=\rho \cos \phi \cos \theta$
$y=\rho \cos \phi \sin \theta$
$z=\rho \sin \theta$

Con$\theta \in [0,2\pi]$, $\phi \in [-\pi/2,\pi/2]$, $\rho > 0$. Il modulo del determinante dello Jacobiano è $J=\rho^2\cos \phi$. Le condizioni che determinano il volume V si traducono nelle seguenti:

$0<\rho \le 5$
$\rho \cos \phi \ge 4$
$\rho \sin \phi \le 1$

Ovvero:

$0<\rho \le 5$
$\rho \ge 4/(\cos(\phi))$
$\rho \le 1/(\sin(\phi))$ se $\phi >0$
$\rho \ge 1/(\sin(\phi))$ se $\phi < 0$

Ciò che fa sospirare di sollievo è che in queste condizioni $\theta$ non compare (ciò è equivalente alla simmetria rispetto all'asse z). In altre parole, hai trasformato così il volume iniziale in un cilindro di altezza $2\pi$ la cui base è determinata dalle precedenti condizioni (tale cilindro è l'ottenuto del volume iniziale nelle nuove coordinate). Puoi rappresentare la base di tale cilindro in un piano bidimensionale XY in cui $X=\phi$ e $Y=\rho$. Ottieni la zona colorata in figura:



Come vedi c'è una minuscola parte gialla (è quella che dà fastidio!). D'ora in poi sono conti: dovrai integrare la quantità $\rho^2 \cos \phi$ in tale zona del piano tenendo conto del contributo di $\theta$.

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Nella fattispecie otterrai

$\int_0^{2\pi}(\int_{-\arccos(4/5)}^{\arcsin(1/5)}(\int_{4/(\cos \phi)}^5 \rho^2 \cos \phi d \rho)d \phi)d \theta+\int_0^{2\pi}(\int_{\arcsin(1/5)}^{\arctan(1/4)}(\int_{4/(\cos(\phi))}^{1/(\sin \phi)} \rho^2 \cos \phi d \rho)d \phi)d \theta$

NB: $\arctan(1/4)$ è la soluzione "utile" della equazione $1/(\sin \phi)=4/(\cos \phi)$.

Una volta scritto così è facile.

Attenzione però: potrei aver fatto qualche svista

Edito: a me viene $4/3 \pi \cdot 10$, ovvero i $2/25$ del volume della sfera.

[Spire]

Uhmmmm io a "visionarmi" le figure sono negato... Adesso non ho tempo ma in serata ti posto i miei risultati, non ricordo nemmeno se era uguale al tuo. In ogni caso grazie
Dopo vi posto tutto

[Spire]

Rieccomi, ho fatto in velocità!
Allora! In totale a me viene $80/3pi$
Il doppio rispetto al tuo ma hai detto che è simmetrico rispetto a $z$ quindi: non hai moltiplicato $*2$ oppure è quello il risultato?

In ogni caso altra domanda!
Quando mi calcolo i volumi o anche le superfici devo SEMPRE cercare il grafico o mi basta attenermi alle disuguaglianze?
E un'altra cosa, devo SEMPRE tener conto dei domini X-Semplici e Y-Semplici per svoglere gli integrali doppi e tripli?
Perchè in questo caso non ci ho nemmeno guardato...

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Hai ragione, $80 \pi/3$ (ho fatto un errore nell'ultimo passaggio )

Ti basta sempre attenerti alle disuguaglianze, ma se trovi un riscontro grafico ti diverti di più e trovi una conferma del risultato.
Ovviamente il lavoro gravoso non è svolgere l'integrale ma riuscire a scriverlo.