Calcolare sup di un modulo
Voglio calcolare $"sup"_(x\in[0,+oo))|1/nlog(1+e^(nx))-x|$.
Definisco $phi_n(x)=1/nlog(1+e^(nx))-x$ ed ho che $phi_n'(x)=-1/(1+e^(nx))<0$ $AAx\in[0,+oo)$ dunque il contenuto del modulo del quale voglio calcolare il sup è una funzione strettamente decrescente.
Questo mi permette di dire che il sup del modulo è assunto in $x=0$ oppure mandando la $x$ a $+oo$.
Quindi potrei provare a vedere quale di questi due valori è maggiore, ma c'è un modo un po più elegante per saperlo?
Definisco $phi_n(x)=1/nlog(1+e^(nx))-x$ ed ho che $phi_n'(x)=-1/(1+e^(nx))<0$ $AAx\in[0,+oo)$ dunque il contenuto del modulo del quale voglio calcolare il sup è una funzione strettamente decrescente.
Questo mi permette di dire che il sup del modulo è assunto in $x=0$ oppure mandando la $x$ a $+oo$.
Quindi potrei provare a vedere quale di questi due valori è maggiore, ma c'è un modo un po più elegante per saperlo?
Risposte
Proseguo in modo un pò "artigianale",ma se ti piace fallo pure tuo:
a volte c'è chi preferisce un buon restauro,all'originale
!
Osserva innanzitutto che $|1/n"log"(1+e^(nx))-x|=|1/n"log"(1+e^(nx))-1/n"log"e^(nx)|=..=|1/n"log"(1+1/(e^(nx)))|=$
$=1/n"log"(1+1/(e^(nx)))$ $AAn inNN,x in [0,+oo)$;
ciò permetterà d'affermare,
anche ricordando tanto che $"sup"_(t in (0,+oo))(1+1/t)^t=e$ quanto le due proprietà caratteristiche degli estremi superiori e procedendo opportunamente su queste ultime
(non ricordo se nel mio corso di Analisi I c'era un teorema che affermava come il prodotto di due qualunque funzioni a valori in $RR^+$ e limitate superiormente avesse per estremo superiore il prodotto dei loro estremi superiori,
ma ad occhio e croce questa proposizione dovrebbe in ogni caso esser vera proprio grazie alla caratterizzazione citata ed a qualche passaggio al limite,lecito ed opportuno,per $epsilon to 0^+$..),
che $"sup"_(x in [0,+oo))|1/n"log"(1+e^(nx))-x|="sup"_(x in [0,+oo))1/n 1/(e^(nx)) "log"(1+1/(e^(nx)))^(e^(nx))=1/n*1*1=1/n$ $AA n inNN$:
dovrebbe esserti utile,se non ho cannato tutto di brutto quella congettura
(ma a ben pensarci andrebbe bene pure se non fosse del tutto giusta,
nel caso specifico della domanda più profonda che credo sia dietro il tuo quesito,
perchè mal che vada è abbastanza rapido avvedersi che,con ovvio significato dei simboli,
la sua tesi può esser riscritta $l<=l_1*l_2$..),
anche ai fini superiori all'eleganza che mi sembra abbia silentemente questa domanda
!
Saluti dal web.
a volte c'è chi preferisce un buon restauro,all'originale
!Osserva innanzitutto che $|1/n"log"(1+e^(nx))-x|=|1/n"log"(1+e^(nx))-1/n"log"e^(nx)|=..=|1/n"log"(1+1/(e^(nx)))|=$
$=1/n"log"(1+1/(e^(nx)))$ $AAn inNN,x in [0,+oo)$;
ciò permetterà d'affermare,
anche ricordando tanto che $"sup"_(t in (0,+oo))(1+1/t)^t=e$ quanto le due proprietà caratteristiche degli estremi superiori e procedendo opportunamente su queste ultime
(non ricordo se nel mio corso di Analisi I c'era un teorema che affermava come il prodotto di due qualunque funzioni a valori in $RR^+$ e limitate superiormente avesse per estremo superiore il prodotto dei loro estremi superiori,
ma ad occhio e croce questa proposizione dovrebbe in ogni caso esser vera proprio grazie alla caratterizzazione citata ed a qualche passaggio al limite,lecito ed opportuno,per $epsilon to 0^+$..),
che $"sup"_(x in [0,+oo))|1/n"log"(1+e^(nx))-x|="sup"_(x in [0,+oo))1/n 1/(e^(nx)) "log"(1+1/(e^(nx)))^(e^(nx))=1/n*1*1=1/n$ $AA n inNN$:
dovrebbe esserti utile,se non ho cannato tutto di brutto quella congettura
(ma a ben pensarci andrebbe bene pure se non fosse del tutto giusta,
nel caso specifico della domanda più profonda che credo sia dietro il tuo quesito,
perchè mal che vada è abbastanza rapido avvedersi che,con ovvio significato dei simboli,
la sua tesi può esser riscritta $l<=l_1*l_2$..),
anche ai fini superiori all'eleganza che mi sembra abbia silentemente questa domanda
!Saluti dal web.
Si beh, una volta che ho provato che il contenuto del modulo (quello che io ho chiamato $phi_n(x)$ per capirci) è positivo mi basta usare il fatto che la derivata è sempre negativa per concludere che il sup viene assunto nell'estremo destro dell'intervallo cioè in zero.
L'unica cosa è che non era così banale mostrare che quella quantità è sempre positiva e su questo mi hai dato l'ottima idea di riscrivere $x$ come $1/nlog(e^(nx))$
L'unica cosa è che non era così banale mostrare che quella quantità è sempre positiva e su questo mi hai dato l'ottima idea di riscrivere $x$ come $1/nlog(e^(nx))$
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