Calcolare somma sommatoria

[mati.brunetti37]

Data la sommatoria, da n=4 a infinito:
$ sum(sqrt(n+1)- sqrt(n))/sqrt(n^2+n $
Calcolare la somma.

Si vede subito che è convergente, infatti ammette un risultato finito, il problema è calcolare questo risultato.
Ho cercato, attraverso molti trucchi algebrici di trasformarla in qualcosa simile alla serie di Mengoli, senza riuscirci.
Ho provato ad eliminare le radici in svariati modi, o almeno, a semplificarla notevolmente. Tuttavia, non riesco mai a raggiungere qualcosa di abbastanza vicino alla serie di Mengoli.
Ovviamente prima calcolerei la sommatoria per n=0 a n->infinito, e poi toglierei il valore che mi verrebbe fuori dalla stessa sommatoria da n=0 a n=3, ma non so proprio come fare per il primo punto.

Grazie anticipatamente.

[@melia]

$ sum_(n=4) ^(+oo) (sqrt(n+1)- sqrt(n))/sqrt(n^2+n)= sum_(n=4) ^(+oo) (sqrt(n+1)/sqrt(n^2+n)- sqrt(n)/sqrt(n^2+n))= $
$=sum_(n=4) ^(+oo) (sqrt((n+1)/(n(n+1)))- sqrt(n/(n(n+1))))=sum_(n=4) ^(+oo) (sqrt(1/n)- sqrt(1/(n+1)))=sum_(n=4) ^(+oo) (1/sqrtn- 1/sqrt(n+1))$ ma questa diventa
$sum_(n=4) ^(+oo) (1/sqrtn- 1/sqrt(n+1))=1/sqrt4-1/sqrt5+1/sqrt5-1/sqrt6+......=1/2 - lim_(n->+oo) 1/sqrt(n+1)=1/2-0 =1/2$