Calcolare somma di una serie geometrica
Buongiorno a tutti, oggi sono impegnato sul fronte delle serie geometriche e sto trovando difficoltà a risolvere questo esercizio .
Ho iniziato vedendo il sistema come $e^(-2n)/[4*2^(-n)]$, da cui sono arrivato a $1/4*2^(-n)/[e^(2n)]$ e infine a $1/4*(2/e^2)^n$, che è una serie geometrica di ragione minore di 1 in valore assoluto, quindi porta ad una soluzione del tipo risposta B). Invece la risposta esatta segnata sul pdf è la A), ma non riesco a capire come possa essere... Avevo anche provato a vedere il denominatore come $2^[(-n)(-2/n+1)]$, escludendo magari il termine $2/n$ perché tende a zero, però come operazione (peraltro molto discutibile) non mi ha portato al risultato sperato.
Mi affido alla vostra saggezza, qualche consiglio?
Grazie in anticipo!
Esercizio:
Ho iniziato vedendo il sistema come $e^(-2n)/[4*2^(-n)]$, da cui sono arrivato a $1/4*2^(-n)/[e^(2n)]$ e infine a $1/4*(2/e^2)^n$, che è una serie geometrica di ragione minore di 1 in valore assoluto, quindi porta ad una soluzione del tipo risposta B). Invece la risposta esatta segnata sul pdf è la A), ma non riesco a capire come possa essere... Avevo anche provato a vedere il denominatore come $2^[(-n)(-2/n+1)]$, escludendo magari il termine $2/n$ perché tende a zero, però come operazione (peraltro molto discutibile) non mi ha portato al risultato sperato.
Mi affido alla vostra saggezza, qualche consiglio?
Grazie in anticipo!Esercizio:
Risposte
Credo proprio che il problema stia nel fatto che non hai notato che la sommatoria parte da due e non da zero!!!
Grazie per aver risposto, ma potresti essere più chiaro? Cosa implica nel risultato finale? In effetti hai ragione, non l'ho considerato! Grazie ancora 
In pratica
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q},
\]
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}-q^0=\frac{q}{1-q},
\]
\[
\sum_{n=2}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}-q^0-q^1
\]
e così via. Come hai calcolato giustamente tu,
\[
\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{+\infty}\bigg(\frac{2}{e^2}\bigg)^n=\frac{e^2}{4(e^2-2)},
\]
ma
\[
\frac{1}{4}\sum_{n=2}^{+\infty}\bigg(\frac{2}{e^2}\bigg)^n=\frac{1}{e^2(e^2-2)}.
\]
\[
\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q},
\]
\[
\sum_{n=1}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}-q^0=\frac{q}{1-q},
\]
\[
\sum_{n=2}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}-q^0-q^1
\]
e così via. Come hai calcolato giustamente tu,
\[
\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{+\infty}\bigg(\frac{2}{e^2}\bigg)^n=\frac{e^2}{4(e^2-2)},
\]
ma
\[
\frac{1}{4}\sum_{n=2}^{+\infty}\bigg(\frac{2}{e^2}\bigg)^n=\frac{1}{e^2(e^2-2)}.
\]
Ho capito, grazie mille! Non avevo mai fatto una considerazione del genere
Di niente figurati
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