Calcolare somma di due serie
Ho queste due serie:
$ sum_(n = 5)^(infty) 1/(2 + pi)^(2n) $
$ sum_(n = 2)^(infty) (-5)^n/8^(2n) $
Ho provato a dividerle in più serie geometriche per applicare la regola che consente l'unione delle somme,ma sia nella prima che nella seconda non riesco ad arrivare al risultato corretto,nella seconda ho provato anche ad applicare la regola della costante che moltiplica la somma ma anche così mi esce un risultato diverso da quello del libro.C'è qualcuno che può aiutarmi?
$ sum_(n = 5)^(infty) 1/(2 + pi)^(2n) $
$ sum_(n = 2)^(infty) (-5)^n/8^(2n) $
Ho provato a dividerle in più serie geometriche per applicare la regola che consente l'unione delle somme,ma sia nella prima che nella seconda non riesco ad arrivare al risultato corretto,nella seconda ho provato anche ad applicare la regola della costante che moltiplica la somma ma anche così mi esce un risultato diverso da quello del libro.C'è qualcuno che può aiutarmi?
Risposte
La prima ha somma \(+\infty\), se è scritta correttamente (perché?).
La seconda è una serie geometrica di ragione \(-5/64\) alla quale mancano i primi due addendi, quindi...
La seconda è una serie geometrica di ragione \(-5/64\) alla quale mancano i primi due addendi, quindi...
"gugo82":
La prima ha somma \(+\infty\), se è scritta correttamente (perché).
La seconda è una serie geometrica di ragione \(-5/64\) alla quale mancano i primi due addendi, quindi...
La prima ha somma $ 1/((2+pi)^8((2+pi)-1)) $
mentre la seconda $ 25/4416 $
ma non riesco a capire come quelli del libro siano giunti a tale soluzione
come fa la prima serie a non avere somma $+\infty$ visto che non dipende da $n$?
"Noisemaker":perchè ho sbagliato io a scrivere,correggo subito,prima non avevo fatto caso all'esponente,chiedo perdono
come fa la prima serie a non avere somma $+\infty$ visto che non dipende da $n$?
ahhhh ecco! 
allora la prima è una serie geometrica la cui somma è
\[\sum_{n=5}^{+\infty}\frac{1}{(2+\pi)^{2n}}=\frac{\left[\frac{1}{(2+\pi)^2}\right]^5}{1-\frac{1}{(2+\pi)^2}} \]
\[\sum_{n=5}^{+\infty}\frac{1}{(2+\pi)^{2n}}=\frac{\left[\frac{1}{(2+\pi)^2}\right]^5}{1-\frac{1}{(2+\pi)^2}} \]
"Noisemaker":aspetta un attimo,non ho capito da dove è uscito $ [(2+\pi)^2]^5 $ nel numeratore,cioè seguendo la regola base della serie geometrica,quanto vale $ a $ e quanto $ r $ tali da poter dare quel risultato applicando la formula $ a/(1-r) $ ?
allora la prima è una serie geometrica la cui somma è
\[\sum_{n=5}^{+\infty}\frac{1}{(2+\pi)^{2n}}=\frac{\left[(2+\pi)^2\right]^5}{1-(2+\pi)^2}=1+\frac{1}{ (2+\pi)^{-8}}\]
è la somma della serie geometrica che parte da $n=5$ .... è l'ultima uguaglianza che me la sono inventata! scusa!
"Noisemaker":continuo a non capire
è la somma della serie geometrica che parte da $n=5$ .... è l'ultima uguaglianza che me la sono inventata! scusa!
e oltretutto il risultato mi sembra diverso da quello che riporta il libro (che ho scritto in un post più sopra) 
ho fatto confusione con la ragione SCUSAMI oggi non combino
\begin{align}
\frac{\left[\frac{1}{(2+\pi)^2}\right]^5}{1-\frac{1}{(2+\pi)^2}}
\end{align}
\begin{align}
\frac{\left[\frac{1}{(2+\pi)^2}\right]^5}{1-\frac{1}{(2+\pi)^2}}
\end{align}
a me viene cosi
\begin{align} \frac{\left[\displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^2}\right]^5}{1-\displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^2}}= \frac{ \displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^{10}} }{ \displaystyle\frac{(2+\pi)^2-1}{(2+\pi)^2}}= \frac{1}{(2+\pi)^{10}} \cdot\frac{(2+\pi)^2}{(2+\pi)^2-1}= \frac{1}{(2+\pi)^{8}} \cdot\frac{1}{(2+\pi)^2-1} \end{align}
\begin{align} \frac{\left[\displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^2}\right]^5}{1-\displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^2}}= \frac{ \displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^{10}} }{ \displaystyle\frac{(2+\pi)^2-1}{(2+\pi)^2}}= \frac{1}{(2+\pi)^{10}} \cdot\frac{(2+\pi)^2}{(2+\pi)^2-1}= \frac{1}{(2+\pi)^{8}} \cdot\frac{1}{(2+\pi)^2-1} \end{align}
"Noisemaker":si è giusta,ho risolto anche la seconda,in pratica mancava un passaggio,ovvero non elevavo il numeratore a seconda del valore di n e sul libro non diceva nulla perchè tutti gli esempi erano con n a partire da 1,mi meraviglio di come un testo universitario tralasci questo dettaglio
a me viene cosi
\begin{align} \frac{\left[\displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^2}\right]^5}{1-\displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^2}}= \frac{ \displaystyle\frac{1}{(2+\pi)^{10}} }{ \displaystyle\frac{(2+\pi)^2-1}{(2+\pi)^2}}= \frac{1}{(2+\pi)^{10}} \cdot\frac{(2+\pi)^2}{(2+\pi)^2-1}= \frac{1}{(2+\pi)^{8}} \cdot\frac{1}{(2+\pi)^2-1} \end{align}
P.S: grazie veramente
@ Andrew Ryan: Ricorda che la serie è una delle due uniche serie di cui sai "vita, morte e miracoli" (l'altra è la serie telescopica).
In particolare, sai che:
\[
\sum_{n=0}^N \lambda^n = \frac{1-\lambda^{N+1}}{1-\lambda}
\]
(quindi riuscite a scrivere esplicitamente le somme parziali!!!) da cui segue immediatamente che la serie geometrica converge se e solo se la ragione \(\lambda\) soddisfa \(-1<\lambda <1\) ed in tal caso la somma della serie è:
\[
\sum_{n=0}^\infty \lambda^n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N \lambda^n = \lim_{N\to \infty} \frac{1-\lambda^{N+1}}{1-\lambda} = \frac{1}{1-\lambda}\; .
\]
In particolare, comunque si fissa \(\nu \in \mathbb{N}\), se la serie geometrica di ragione \(\lambda\) converge (il che accade solo quando \(\lambda\) soddisfa le limitazioni precedenti) si ha:
\[
\begin{split}
\sum_{n=\nu}^\infty \lambda^n &= \sum_{n=\nu}^\infty \lambda^n + (1+\lambda +\cdots +\lambda^{\nu -1})-(1+\lambda +\cdots +\lambda^{\nu -1}) \\
&= \left(\sum_{n=\nu}^\infty \lambda^n + 1+\lambda +\cdots +\lambda^{\nu -1}\right)- (1+\lambda +\cdots +\lambda^{\nu -1}) \\
&= \left( \sum_{n=0}^\infty \lambda^n \right) - 1-\lambda -\cdots -\lambda^{\nu -1} \\
&= \frac{1}{1-\lambda} - 1-\lambda -\cdots -\lambda^{\nu -1} \\
&= \frac{\lambda^{\nu}}{1-\lambda}\; .
\end{split}
\]
Nel caso della primo esercizio, la serie geometrica di ragione \(\lambda=1/(2+\pi)^2\) converge perché \(0<1/(2+\pi)^2 <1\); quindi, usando la formula precedente trovi:
\[
\sum_{n=5}^\infty \frac{1}{(2+\pi)^{2n}} = \frac{\left( \frac{1}{(2+\pi)^2}\right)^5}{1-\frac{1}{(2+\pi)^2}}\; .
\]
In particolare, sai che:
\[
\sum_{n=0}^N \lambda^n = \frac{1-\lambda^{N+1}}{1-\lambda}
\]
(quindi riuscite a scrivere esplicitamente le somme parziali!!!) da cui segue immediatamente che la serie geometrica converge se e solo se la ragione \(\lambda\) soddisfa \(-1<\lambda <1\) ed in tal caso la somma della serie è:
\[
\sum_{n=0}^\infty \lambda^n = \lim_{N\to \infty} \sum_{n=0}^N \lambda^n = \lim_{N\to \infty} \frac{1-\lambda^{N+1}}{1-\lambda} = \frac{1}{1-\lambda}\; .
\]
In particolare, comunque si fissa \(\nu \in \mathbb{N}\), se la serie geometrica di ragione \(\lambda\) converge (il che accade solo quando \(\lambda\) soddisfa le limitazioni precedenti) si ha:
\[
\begin{split}
\sum_{n=\nu}^\infty \lambda^n &= \sum_{n=\nu}^\infty \lambda^n + (1+\lambda +\cdots +\lambda^{\nu -1})-(1+\lambda +\cdots +\lambda^{\nu -1}) \\
&= \left(\sum_{n=\nu}^\infty \lambda^n + 1+\lambda +\cdots +\lambda^{\nu -1}\right)- (1+\lambda +\cdots +\lambda^{\nu -1}) \\
&= \left( \sum_{n=0}^\infty \lambda^n \right) - 1-\lambda -\cdots -\lambda^{\nu -1} \\
&= \frac{1}{1-\lambda} - 1-\lambda -\cdots -\lambda^{\nu -1} \\
&= \frac{\lambda^{\nu}}{1-\lambda}\; .
\end{split}
\]
Nel caso della primo esercizio, la serie geometrica di ragione \(\lambda=1/(2+\pi)^2\) converge perché \(0<1/(2+\pi)^2 <1\); quindi, usando la formula precedente trovi:
\[
\sum_{n=5}^\infty \frac{1}{(2+\pi)^{2n}} = \frac{\left( \frac{1}{(2+\pi)^2}\right)^5}{1-\frac{1}{(2+\pi)^2}}\; .
\]
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