Calcolare serie di Fourier.

[angiolo911]

Si calcoli la serie di Fourier della funzione \(\displaystyle f(x) = xsinx \), nell’intervallo [−π,π].
[Sugg.: si rammenti che, per n ≥ 2, si ha \(\displaystyle \lmoustache π sinnxsinxdx = \lmoustache π cosnxcosxdx =0 \).]

con a0 e a1 mi trovo ma non ho ben capito come si ottiene il termine n-esimo finale.
Potreste darmi una mano a capire?

Lo svolgimento è allegato al post.

[gugo82]

Vabbé non c'è molto da dire...

Usando le formule di Werner, trovi:
\[
\begin{split}
\int_{-\pi}^\pi x\ \sin x\ \cos nx\ \text{d} x &= \frac{1}{2}\ \int_{-\pi}^\pi x\ \left( \sin( x +nx) + \sin( x- nx)\right)\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{2}\ \int_{-\pi}^\pi x\ \sin \Big( (n+1) x\Big)\ \text{d} x -\frac{1}{2}\ \int_{-\pi}^\pi x\ \sin \Big( (n-1) x\Big)\ \text{d} x
\end{split}
\]
e di qui sono solo integrazioni da Analisi I.

[angiolo911]

"gugo82":Vabbé non c'è molto da dire...

Usando le formule di Werner, trovi:
\[ \begin{split} \int_{-\pi}^\pi x\ \sin x\ \cos nx\ \text{d} x &= \frac{1}{2}\ \int_{-\pi}^\pi x\ \left( \sin( x +nx) + \sin( x- nx)\right)\ \text{d} x\\ &= \frac{1}{2}\ \int_{-\pi}^\pi x\ \sin \Big( (n+1) x\Big)\ \text{d} x -\frac{1}{2}\ \int_{-\pi}^\pi x\ \sin \Big( (n-1) x\Big)\ \text{d} x \end{split} \]
e di qui sono solo integrazioni da Analisi I.

a dire la verità non riesco a svolgerli potresti darmi una mano? Mi ha dato anche quel suggerimento che non so come sfruttare per semplificarmi le cose.

[gugo82]

Non sai integrare per parti?
Beh, ti serve senz'altro un ripasso di Analisi I più che un mio aiuto esplicito...